书名:数学思维

    作者:[英]郑乐隽

    译者:朱思聪 张任宇

    出版时间：2020-01-01

    ISBN:9787521712612

    中信出版集团制作发行

    版权所有·侵权必究送给

    我的父母和马丁·海兰德

    纪念

    克里斯汀·彭布里奇有人说，数学是一座美妙的花园。如果不是您的指引，我知道我

    一定会在花园中迷路。谢谢您带领我们从那最美丽的路径穿过这座花

    园。

    一位学生写给作者的信

    芝加哥大学，2014年6月前言

    凝脂奶油

    配料

    奶油

    方法

    1. 将奶油倒入电饭煲。

    2. 开关调至“保温”档，盖子微微打开，静置约8小时。

    3. 取出后在冰箱中冷藏约8小时。

    4. 用勺子将最上面的一层刮下来——这就是凝脂奶油。

    那么，这和数学到底有什么关系呢？

    关于数学的迷思

    数学是关于数字的科学。

    你也许认为电饭煲就是用来煮米饭的。这话没错，但同一个电器也可以

    用来做其他的事情：做凝脂奶油，煮蔬菜，蒸一只鸡。同样，数学的确关乎

    数字，但它也关乎很多其他的东西。

    数学是关于得出正确答案的科学。

    烹饪是关于把各种配料调和在一起，做出美味食物的艺术。有时它更强

    调的是方法，而不是配料本身，就像做凝脂奶油的食谱一样，配料只有一

    样，整个食谱讲的是一种方法。数学是关于如何把各种想法组合到一起，创造出令人激动的新想法的科学。同样，有时它更强调的是方法，而不是“配

    料”本身。

    数学是非对即错的科学。

    烹饪可能会失败——你的蛋奶糊可能会结块，你的蛋奶酥可能会塌掉，你的鸡肉可能没熟，让每个吃了它的人都食物中毒了。或者，某些食物可能

    并不会使你中毒，但总有一些食物要比另一些更好吃。有时候，烹饪“失

    败”了，你却在无意中发明了一种美妙的新食谱：塌掉的巧克力蛋奶酥柔软

    而绵密；做饼干时忘了把巧克力融掉，结果做出了巧克力豆饼干。数学也是

    如此。在学校，如果你写下10+4=2，你会被告知这是错的，但在某些情况

    下，这个等式是对的，比如计算时间——上午10点过去4个小时就是下午2

    点。事实上，数学的世界比你所知道的更加神奇和不可思议……

    你是数学家？那你一定非常聪明。

    虽然我很喜欢别人说我聪明，但这个迷思更说明了人们普遍认为数学很

    难。一个许多人不理解的事实是，数学的目的是让事情简单化。这里有个问

    题——如果数学是为了简化，就说明这件事情一开始是复杂的。数学的确很

    难，但它也能让复杂的事情变得简单。事实上，正因为数学很难，数学才能

    让数学变得更容易。

    很多人要么害怕数学，要么很容易被数学搞糊涂，当然也可能两者兼

    具。或者，也有可能是他们在学校里上过的数学课让他们对这一切很反感。

    我能理解这些，我也曾经对学校里的体育课很反感，并且从未真正克服这一

    障碍。我在运动方面的表现实在很差，我当时的老师简直难以相信世界上竟

    然真的存在运动能力这么差的人。但现在我也挺健康的，甚至还参加了纽约

    马拉松的比赛。至少现在，我体会到了体育锻炼的好处，但我仍然害怕任何

    一种团队性的体育项目。

    你究竟是怎么做数学研究的呢？你也不可能再发现一个新的数字了

    啊!这本书就是我对这个问题的回答。如果我正身处一场鸡尾酒会，而有其

    他人向我提出了这个问题，那我只能说我很难给出一个言简意赅又不失新意

    的答案，这个答案要么因为太长而占用听者太多的时间，要么因为太出乎意

    料而吓到旁边的人。是的，在一场正式的宴会上，吓到别人的方法之一就是

    谈论数学。

    没错，你的确不可能再发现一个新的数字了。那我们能在数学里发现什

    么新东西呢？在解释这个“新的数学”是什么之前，我需要先澄清一些关于

    数学是什么的误解。事实上，对于整体意义上的数学，数字只占据其中的一

    小部分，而我将要讲述的这个数学分支甚至和数字一点儿关系都没有。这个

    分支叫作“范畴论”，可以被理解为“关于数学的数学”。它是关于关系、情境、过程、原理、结构、蛋糕和蛋奶糊的。

    是的，甚至是关于蛋奶糊的。因为数学是关于类比的，而接下来我将用

    各式各样的类比来解释数学是如何运作的，包括蛋奶糊、蛋糕、派、松饼、甜甜圈、贝果面包、蛋黄酱、酸奶、千层面和寿司。

    不管你认为数学是什么，现在，请暂时放下你的想法。

    我将给你一个与众不同的答案。1

    什么是数学？

    无麸质巧克力布朗尼

    配料

    115克黄油

    125克黑巧克力

    150克糖粉

    80克土豆粉

    2个中等大小的鸡蛋

    方法

    1. 将黄油和巧克力融化，一起搅匀，然后冷却一会儿。

    2. 将加入糖的蛋液打发。

    3. 缓缓将巧克力倒入蛋液中。

    4. 倒入土豆粉。

    5. 将混合液体倒入单独的几个小号模具中，将烤箱温度调至180°C预

    热，然后放入模具，烤大约10分钟(或者根据你喜欢的熟度调节时间)。

    数学，就像食谱一样，包含配料和方法。同样，就像食谱如果不谈论方

    法会变得无用，如果我们不谈论数学的研究方法，而只讨论数学的研究对

    象，我们就无法理解数学究竟是什么。碰巧，在上述这个食谱里，方法很重

    要——我们没法儿直接用一个很大的托盘成功地烤出布朗尼，我们必须要用

    小号模具。在数学里，方法也许比配料更重要。真正的数学很可能并不是你在学校的数学课上学到的东西。不过，就我自己而言，我似乎一直都知道数

    学的内涵要比我们在学校学到的那些更丰富。那么，什么是数学呢？

    食谱书

    按照所需厨具来给食谱分类会怎样？

    做饭的流程通常类似于这样：决定你想做什么，买原材料，然后着手烹

    饪。有时，步骤的顺序会发生颠倒：你在商店或市场里闲逛，看到一些不错

    的食材，想要用它们来做饭。也许是某种格外新鲜的鱼，也许是一种你从未

    见过的蘑菇。你先把它们买回家，然后才开始查可以用它们做什么菜。

    偶尔，你遇到的情况可能会与上述这两种完全不同：你买了一个新的厨

    具，于是你想用这个厨具做所有它能做的美食。也许你买了一台搅拌机，于

    是突然之间，你便开始做汤、奶昔、冰激凌。你可能还试着用它做了土豆

    泥，但结果很不理想(成品看起来就像一罐胶水)。也许你买了一只慢炖

    锅，或是一只蒸锅，或是一个电饭煲。也许你刚刚学会了一种新的烹饪技

    术，比如分离蛋清和蛋黄，或是给黄油脱水，于是你想用你的新技术做尽可

    能多的事。

    因此，我们有两种方法来烹饪，而其中一种看起来要更实用。大多数烹

    饪书都是根据菜品的性质，而不是烹饪方法来归类的：一章介绍前菜，一章

    介绍汤品，一章介绍鱼类的做法，一章介绍肉类的做法，一章介绍甜品，等

    等。有时，书里可能会有一章专门讲解某种配料的使用，比如专门介绍巧克

    力类甜点的食谱或蔬菜类的食谱等。有时，书里可能还会有一章专门介绍特

    殊场合的烹饪食谱，比如圣诞节午宴。但如果书里有一章是关于“用到橡胶

    刮铲的食谱”或者“用到手动打蛋器的食谱”的，那么这本书看起来就太奇

    怪了。不过，厨具本身通常都会自带一些可以用到此工具的简单食谱，搅拌

    机会自带搅拌机食谱，慢炖锅和冰激凌机也同样如此。

    这与做学术研究的研究对象颇具异曲同工之处。通常，当你说起你所研

    究的课题时，你会根据你的研究对象是什么来描述它。也许你研究的是鸟

    类、植物、食物、烹饪、理发，或者是过去发生的事，又抑或是社会如何运转。一旦你决定了想要研究什么，你就需要学习研究它的方法，或是自创一

    些研究方法，就像在烹饪中学习打发蛋白或是给黄油脱水一样。

    然而，在数学领域，我们所研究的对象本身就取决于我们使用的研究方

    法。这就类似于我们买了一个搅拌机，然后决定用它做各种美食这种情况。

    与其他学科相比，数学的研究过程可以说是逆向的。通常而言，是我们的研

    究对象决定我们的研究方法；是我们先决定晚饭想吃什么，然后再选用合适

    的厨具。但是，当我们因新买的搅拌机而心情激动时，我们就会想试试用它

    来做我们所有的饭菜。(至少，我就见过这么做的人。)

    这多少有点儿像“先有鸡还是先有蛋”的问题。但我的论点是，数学是

    由它的研究方法来定义的，而它的研究对象则是由那些研究方法决定的。

    立体主义

    当风格影响内容的选择时

    用研究方法给数学分类与艺术流派的分类十分相似。诸如立体主义、点

    彩画派、印象派这些流派都是依据作画方法，而不是依据作画内容来划分

    的。芭蕾和歌剧也是如此，其艺术形式是根据表达方式划分的，而主题内容

    通常是有固定范畴的。芭蕾很适合抒发情感，但并不那么适合描述对白，也

    不适合表达政治诉求。立体主义显然不适合描绘昆虫。交响乐适合表现大喜

    大悲，但并不适合传达如“请把盐递给我”这样的寻常信息。

    在数学里，我们使用的方法是逻辑。我们只想使用纯粹的逻辑推理，而

    非使用实验、实证、盲信、希望、民主、暴力等种种途径。仅仅是逻辑。那

    么，我们研究的对象是什么呢？我们研究所有符合逻辑规则的事物。

    数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。

    我承认这是一个过分简化的定义。但我希望，在读了本书更多内容以

    后，你会明白这个定义就它本身而言已经足够准确了，它正是一个范畴论数

    学家会给出的定义，而非像第一眼看上去那样是个循环论证。谁是首相

    用它是做什么的来描述事物

    设想有人问你“谁是首相”，而你回答说“他是政府首脑”。这个答案

    没错，但并不能让人满意，因为它没有正面回答问题：你描述了首相的性

    质，但没告诉我们首相是做什么的。同样，我刚刚对于数学的“定义”也描

    述了数学的特点，但并没有告诉你它是做什么的。因此，这个定义可能不是

    很有帮助，或者至少不太全面——不过，这只是了解数学的开始。

    我们可以说清楚数学是什么，而不是数学像什么吗？数学到底研究什

    么？它的确研究数字，但也研究其他东西，比如形状、图像和模式，以及肉

    眼看不到的——富有逻辑的想法。甚至还有更多：那些我们目前还不知道的

    东西。数学持续发展的原因之一就是，一旦你掌握了一种方法，你总能找到

    更多可以用它来研究的对象，然后你又能找到更多研究这些对象的方法，再

    然后你又能用新方法找到更多可以研究的对象，如此循环往复，就像鸡生

    蛋，蛋生鸡，鸡生蛋……

    山脉

    登上一座山能让你看到更高的山

    你是否有过这种体验——登上一座山的顶峰，发现的却是比它更高的所

    有其他山峰？数学也是如此，它越发展，可供研究的对象就越多。此事的发

    生一般伴随着两种过程。

    第一种是“抽象化”：我们用逻辑梳理清楚了本来没有逻辑存在的领

    域。打个比方，可能你原本只用电饭煲煮米饭，而有一天，你发现你也可以

    用它来烤蛋糕，而且用电饭煲烤出来的蛋糕和用传统烤箱烤出来的蛋糕只有

    一点点不同。换句话说，我们借助一种新的视角来看待原本不是数学的事

    物，从而将其变为数学。这就是x和y会出现在数学领域的原因——我们原先

    的目的是研究数字，但后来我们发现此种处理数字的方法也可以应用到其他

    领域。第二种是“广义化”：我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更

    复杂的事物。这就好像你用搅拌机做了一个蛋糕，又用搅拌机做了酥皮，然

    后把两者堆叠起来，创造出一种新的甜点。在数学领域，这就等同于用比较

    简单的数字、三角形和日常生活中的事物来建构多项式、矩阵、四维空间

    等。

    我会在接下来的几章探讨抽象化和广义化这两种过程，但首先我想请读

    者看一看数学是如何奇妙又怪异地实现这两个过程的。

    鸟类

    鸟类不等于鸟类研究

    假设你是一个研究鸟类的专家。你研究鸟类的行为、饮食、求偶方式、育幼方式以及它们怎样消化食物，等等。然而，你永远不可能用更简单的鸟

    类来创造一种新的鸟类——鸟类不是这样创造出来的。在这件事上，你不能

    使用广义化，至少不能使用数学的广义化。

    另一件你无法做到的事情是把不是鸟类的东西变成鸟类。鸟也不是这样

    创造出来的。所以你也没有办法使用抽象化。有时，我们也会发现自己犯了

    分类的错误，需要对此进行修正，比如把雷龙“变为”一种迷惑龙，但那只

    是因为我们意识到了雷龙是迷惑龙属的一种，而不是真的把前者变成了后

    者。我们不是魔术师，不能把一件东西变成另一件东西。但在数学里，我们

    可以这样做，因为数学研究的是关于事物的想法，而不是真实事物本身。因

    此，我们只需要改变自己头脑中的想法，就可以改变我们的研究对象。通

    常，这意味着改变我们对某种事物的看法，改变我们的视角，或是改变我们

    描述的方式。

    一个数学上的例子是绳结，如下图所示。在18世纪和19世纪，范德蒙、高斯和其他一些数学家想出了如何用数学

    的方式来看待绳结，这样他们就可以用逻辑规则来研究绳结了。

    这个方式就是，想象把一根绳子的两端粘在一起，使其成为一个封闭的

    环。虽然这样一来，绳结没有胶水就做不成了，但这也让数学家能更方便地

    研究它。每一个绳结都可以用三维空间里的一个环来表示。在拓扑学里，研

    究这种问题的方法有很多，对此我们稍后会加以讨论。总之，这样一来，我

    们不但可以对真正存在的绳结进行种种推断，还可以研究那些在宏观世界中

    不成立，但在微观世界的分子结构中真实存在的“结”。

    关于将“真实”世界中的事物转化为“数学”世界中的事物，几何图形

    是另一个更为古老的例子。

    数学的发展可以说经历了以下几个阶段：

    1. 它起源于对数字的研究。

    2. 人们想出了一些方法来研究这些数字。

    3. 人们意识到，这些方法也可以用来研究其他事物。

    4. 人们四处寻找其他可以用这些方法来研究的事物。

    其实还有一个步骤0，位于数字诞生以前：有人发明了数字这个概念。数

    字可以说是数学中可以研究的最基本的东西，但数字并不是一开始就有的。

    也许，数字的发明就是最早的抽象化过程。接下来我要讲的故事是关于抽象的数学的。我想说的是，它的力量和美

    丽并非体现在它所提供的答案和它所解决的问题上，而在于它对人的启蒙，它带来的照亮世界的一束光。正是这束光让人看得更加清楚，而由此，我们

    便迈出了认识周围世界的第一步。2

    抽象

    蛋黄酱或者荷兰酱

    配料

    方法

    1.

    2.

    在一定程度上，蛋黄酱和荷兰酱是一样的——它们的制作方法一样，只

    是加入蛋黄液的油脂类型不同。在两种制作过程中，蛋黄都发挥了奇妙的魔

    力，使得成品变得香浓滑腻。成品逐渐成形的过程就像魔法，我怎么看都看

    不厌。

    蛋黄酱和荷兰酱的相似之处就是数学寻找的那类事物：一些大体相似，只有微小细节不同的事物。这是一种省力的做法，因为你可以一次性学会做

    几件事。烹饪书也许会告诉你，制作荷兰酱需要使用一种不同的方法，但我

    总是置之不理，以便让我的生活更简单一些。数学也是如此，通过寻找除了

    微小细节外其他大体一致的事物来达成简化的目的。

    派抽象作为蓝图

    农舍派、牧羊人派和渔夫派三者大同小异，唯一的不同就是土豆泥下面

    的馅料。各类奶酥也是如此，做不同的奶酥并不需要不同的食谱，你只消学

    会做奶酥皮，然后把你喜欢的水果放进模具作为馅料，再把奶酥皮放在上面

    一起烘焙即可。

    我的另一个最爱是倒置蛋糕。在烘焙倒置蛋糕的时候，你需要把水果放

    在模具底层，再把蛋糕预拌粉倒在上面，烤好以后把蛋糕整个倒过来，这样

    水果就在上面了。为了让蛋糕更美味，你也可以在放水果前在模具底层涂上

    一层加了红糖的融化的黄油，这样你就能为水果蛋糕增添一丝焦糖风味了。

    当然，一些水果比另一些水果更适合这种做法，比如香蕉、苹果、梨和李

    子。葡萄不是很适合。西瓜则完全不适合。对奶酥来说也是如此。西瓜奶

    酥？还是算了吧。

    咸味派的制作方法也差不多。先烤好空的饼皮，放进你喜欢的馅料，再

    放进搅拌好的鸡蛋和牛奶(或奶油)，整个放进烤箱烤制一下——完成。馅

    料可以是奶酪培根、鱼、蔬菜，任何你喜欢放的食材。

    上述所有的“食谱”都并非真正完整的食谱，只是蓝图或框架。你可以

    加入你自己选择的水果、肉类或其他馅料来制作不同的成品，当然，你需要

    从那些适合做馅料的食物里选择。

    数学也是如此。数学致力于寻找事物的相似之处，由此，对于很多不同

    的情况，你只需要一个“食谱”就可以应付了。关键在于你要先忽略一些细

    节，让事物变得更容易理解，在这之后，你可以考虑重新加入额外的变量。

    这就是抽象化的过程。

    就像西瓜奶酥一样，当你提取出那份经过抽象化的“食谱”之后，你可

    能会发现它并不能应用于所有的“食材”。但至少你可以用它进行各种尝

    试，而且有些时候，看起来完全不相干的事物也可能适用于同一份食谱。杂乱的厨房

    抽象就是收起你不需要的东西

    抽象就像在准备烹饪时把你暂时不需要的厨具和配料收起来，这样厨房

    就不会显得那么杂乱。换句话说，抽象就是把你目前不需要的想法收起来，这样你的大脑就不会那么杂乱。

    你更擅长的是清理自己的厨房还是清理自己的大脑？(我个人肯定更擅

    长后者。)抽象是数学研究的重要的第一步。这也是一个会让你感到有些不

    适的步骤，因为它让你离现实远了一些。我从来不把食品加工机收起来，因

    为移动它很麻烦，而且我想确保在我想用的时候随时可以使用它，而不必大

    费周章地把它从碗橱里拿出来。也许在大脑中进行的抽象过程对你来说就与

    此类似。

    看看下面这个问题：

    这种会出现在小学课堂中的问题，也被称作“文字题”(word

    problem)，因为它是用文字来表述的。孩子们会被告知，解这种题的第一步

    就是把这道文字题转化为数字和符号：

    36×2=?

    这就是一种抽象的过程。我们丢弃了，或者说忽略了我们要买的是邮票

    这件事，因为这与解题无关。邮票也可以替换为苹果、香蕉、猴子……而我

    们要计算的总和是一样的，解也一样：72便士。

    那么下面这道题呢？或者这道题：

    对于那道关于邮票的题目，你大概不需要写下计算过程就可以得出结

    果，因为答案非常显而易见。但要解答后面两个问题，你可能就需要进行一

    些抽象化的工作，你需要忽略诸如父亲、蛋糕、糖霜这些细节，写下包含数

    字和符号的计算式。在本章的后面部分，我们会揭晓这两道题的答案。

    甜食

    太真实的事物不遵循数学规律

    如果你曾经试过教小朋友学算数，你可能用过如下这个例子。你试着让

    他们解决这个实际生活中的问题：

    而孩子可能会回答说：“一颗都没有，因为我把它们都吃完了!”

    这里的问题在于，糖并不遵从逻辑规则，所以用数学来研究它们不管

    用。我们可以强迫糖遵从逻辑吗？比如，我们可以给这个例子增加一条额外

    的规定：“……并且你不能吃这些糖。”但如果不让孩子吃糖，那么糖的意

    义何在？我们可以把糖视为某种“东西”而不再是糖。我们丢掉了一些现实

    性的细节，却获得了新的视角和更高的处理效率。数字的好处在于，我们可

    以研究“东西”，并且不必因为“东西”自身属性的不同而改变我们的思考

    路径。一旦我们明白2+2=4，我们就知道了两个东西加上另外两个东西会变成

    四个东西，不管这些东西是糖、猴子、房子还是别的什么。这就是抽象的过

    程：把糖、猴子、房子或别的什么，变成数字。数字是如此的基本，我们很难想象没有它们的生活，也很难想象发明它

    们的过程。当我们数数的时候，我们甚至都没意识到自己已经在使用抽象思

    维了。看小孩子们努力地学算数会让你更容易意识到这件事，因为孩子们尚

    未适应这一从具体到抽象的跨越。

    点兵点将

    数字作为一种抽象形式

    我曾经在一所小学里帮忙教课，在那里，我认识了一位精力充沛的孩子

    妈妈。她也在那所学校帮忙。她告诉我，当别的妈妈骄傲地宣称她们的孩子

    可以数到20或30时，她会感觉很沮丧。但她会立即这样反驳：“我儿子只能

    数到3，但他明白3到底是什么意思。”

    她说的有道理。

    当一个孩子刚开始“学着数到10”的时候，他们所做的不过是学着背一

    首小诗，像是“小小蜘蛛儿，爬上排水管……”一般。只不过，这首小诗是

    这样写的：

    “1，2，3，4，5，6……”

    之后他们会意识到，这首诗和指东西有关，于是他们便开始随意地一边

    指东西，一边背这首“诗”。

    再然后，他们意识到他们应该在背这首诗的时候，每念一个字，就指着

    一样东西，但他们很难确保每样东西只被指过一次。所以当大人问“这幅图

    里有几只鸭子”的时候，他们每次的回答都会不同。他们也可能会认定某一

    个数字，比如6，然后把所有东西都数成6个，也不管鸭子到底有几只。

    最后，他们意识到他们要把这首诗里的每一个字都精准地对应上一样东

    西，一字一物，不多不少。直到此时，他们才真正学会数数。这就是一种抽

    象化的过程，而且是一种出奇深奥的抽象化过程。

    试想一下做买卖但不会数数的情景。“嘿，你的每一只羊，我都用一袋

    谷子来交换。”然后你就得去把谷子和羊群一一对应排列在一起，以确保每只羊确实都换到了一袋谷子。后来你发现，在面对一群羊和好几袋谷子的时

    候，一边指着羊或谷子一边有韵律地背一首小诗会更方便。这首诗可以是关

    于任何内容的，只要你在指着羊和谷子的时候背的是同样的诗即可。它甚至

    可以是“点兵点将”(“Eeny meeny miny moe”)这样毫无意义的诗。

    最后，你创作了一首各方面都很合适的诗，并在每次做买卖的时候都坚

    持使用这首诗，一劳永逸地解决了所有的问题。于是突然间，你创造了数

    字。这就是我们在“学习数数”的过程中不曾留意的抽象化过程。由此我们

    也知道了，简单地学习背诵“1、2、3、4……”这首诗与理解如何用它来数

    数是截然不同的两件事。

    婴儿和洗澡水

    小心别扔掉太多

    每个人都知道，婴儿和洗澡水不能一起倒掉。当我们到处简化和理想化

    我们的问题情境时，我们必须很小心地避免过度简化——我们不能把研究对

    象简化到让它们失去了其所有有用的特性。比如，当我们在搭乐高积木时，我们可以忽略它们的颜色，但我们不能忽略它们的大小，因为积木的大小会

    影响我们具体要怎么搭。但如果我们只是用乐高积木来数数，那么尺寸就是

    可以忽略的。

    决定忽略哪些特点主要取决于我们讨论的情境。这个重要的话题我们之

    后会再来探讨。对于范畴论而言，情境非常重要。

    100 ÷ 15 ≈ 6.7

    100 ÷ 15 ≈ 6.7

    心碎

    抽象作为简化

    曾经，在经历了一次令我心碎的悲惨事件后，我好心的朋友们为了能更

    好地“理解”我，开始不断地询问我各种关于此事的细节，而这一举动只让

    我感到越来越厌烦。最后，一个聪慧的朋友对我说：“其实这件事很简单。

    你失去了你所爱的某样东西。”这就是任何人需要知道的关于此事的情况。

    然后，她成功地将我的注意力转移到探讨将事物简单化而非复杂化是一项多

    么明智的行动，即便有些人会觉得这样做让你看起来很蠢。“简单

    化”和“过度简化”有一个微妙的差别：后者意味着你想错了，而且忽略了

    重要的问题。

    那位朋友的智慧就是一种抽象，她将心碎的本质提炼出来了。看上去，抽象好像会带着你逐步远离现实，但实际上，它会带领你逐步贴近事物的本

    质或核心。要抵达核心，你就必须剥离衣服、皮肉和骨头。

    路标

    抽象作为对事物理想模式的研究

    路标也是一种抽象形式。它们并不会为你细致地描绘路途中可能出现的

    各种情境，而是会描绘一种理想化的情境，并凸显该情境的核心特征。比

    如，不是所有的弓形桥都长成下面这样：但这个路标概括出了弓形桥的本质特征。同理，不是所有过马路的孩子

    都长成下面这样：

    但此类简化的优点是显而易见的。当你在开车的时候，看懂路标比读懂

    一句话要快得多；而且，路标也能让不熟悉当地语言的外国人更容易理解。

    而路标的缺点是，在你刚开始学习开车的时候，你必须先弄懂种种稀奇古怪

    的路标都是什么意思。总有一些路标要比另一些路标更容易看懂。比如下图

    左边这种就比右边这种贴近现实许多：

    上图右边这个“禁止入内”的路标就非常抽象。它看起来完全不像它所

    代表的意思。(“禁止入内”看起来应该像什么样子呢？)但在现实生活

    中，它的作用更重要——你在你的驾驶生涯中遇到的“禁止入内”的路标想

    必要远多于“有鹿出没”的路标。

    数学的抽象化过程的弊端之一就是，你需要用到一大堆稀奇古怪的符

    号。其原因与上述情况类似：一旦你明白了这些符号的意思，它们使用起来

    就会变得很方便，从而你可以将更多的脑力集中用于攻克更为复杂和重要的数学问题。符号的使用也使数学可以跨越语言——你可能会惊讶地发现，读

    一本用某种你不懂的外语写成的数学书并没有那么困难。

    数学里最为基本的“古怪符号”就是我们经常见到的运算符号：

    +、-、×、÷、=。一旦你熟悉了这些符号，读懂“2+2=4”就会比读

    懂“二加二等于四”简单、快捷许多。而当你所学到的数学越来越复杂，其所涉及的符号也会变得越来越复杂，就比如下面这些：

    Σ，?，∮， ， ， ……

    谷歌地图

    用地图指导现实的困难

    读懂地图为什么不容易？看懂地图不难，难的是将地图与实际路况一一

    对应，让地图发挥效用。地图是对现实的抽象，它选择了现实的某些方面进

    行描述，为的是让你更容易找到你要找的地方。在实际应用中，困难存在于

    抽象与现实之间的转化，也就是在地图和你要找的地方之间建立联系。

    谷歌地图提供了一种将抽象转化为现实的便捷之路，它是通过谷歌街景

    和全球定位系统实现的。通常，在地图使用中，最难弄明白的是：

    这两点是地图和现实之间的重要连接点。全球定位系统能帮你弄清楚你

    在哪里，而谷歌街景则能为你提供一张关于你所在之地的现实场景照片，让

    你弄清楚自己面朝什么方向。数学也必须经由这几个步骤来实现。首先，你需要提炼现实。然后，你

    需要在抽象的世界进行逻辑推理。最后，你需要把这些抽象的东西再应用到

    现实中去。不同的人擅长这个过程中的不同步骤。整个过程最核心的部分就

    是游刃有余地在抽象和现实之间穿梭，而要做到这一点，就必须先有人来画

    一张地图。

    比如，你有一个8英寸方形蛋糕的食谱，而你现在想做一个圆形蛋糕。那

    么，你应该使用什么尺寸的圆形模具呢？首先，你需要将这个实际生活问题

    抽象化为数学语言：我们想找到一个与这个已知的正方形(8×8=64)面积相

    同的圆形。圆形的面积是πr2

    ，r是半径。如果我们用d来表示圆形的直径(因

    为蛋糕模具的大小通常是用直径而非半径来表示的)，那么我们就需要此直

    径满足：

    现在，我们需要进行逻辑推理，用代数运算来确定d是多少。(就整个问

    题解决过程而言，只有这一步涉及真正的数学。)

    最后，我们需要把得到的结果应用到现实中去。首先，我们不需要那个

    负数解，因为我们在讨论的是蛋糕模具，所以解必须是正数。其次，我们不

    需要那么多小数点，因为蛋糕模具的尺寸通常是用整数来表示的。综上所

    述，我们需要的那个现实答案是9英寸的圆形蛋糕模具。

    数学以及使用地图的关键就在于针对不同情境进行不同程度的抽象。当

    你在看某条街的地图时，你需要地图显示出这条街上所有楼房的照片吗？你

    需要知道哪里有草地，而哪里没有吗？答案取决于你准备用地图来做什么，对于不同的情况，你需要的地图也不一样。如果你在开车，你就需要知道哪

    些路是单行道，但如果你在步行，这条信息就不重要了。在数学里也是如

    此，不同的情境需要不同程度的抽象。

    不合适的地图会让人沮丧，因为它们不是太具体就是太不具体。(比

    如，我就不喜欢那些会显示楼房三维照片的地图，它们太过具体，会阻碍人

    们分辨街道的走向。)

    在数学中也是如此。如果你把某种过于复杂的数学概念或方法应用到一

    个并不真正需要它的情境中，你就会觉得这种数学概念或方法毫无意义。这

    就好比用杜威十进制分类法来给你仅有的20本书归类一样。

    跳高

    抽象的跳高

    我上学的时候很不擅长跳高。当然，我早就说过自己不擅长各种运动，但跳高是我尤其不擅长的一项，我甚至跳不过最矮的那根杆。问题是，没有

    人教我怎么才能跳过最矮的那根杆。我记得班上的一部分同学好像天生就会跳，而其他不会跳的人则被告知再试一次，再试一次，再试一次。但是当你

    在众人面前反复几次碰掉横杆的时候，你会忍不住失去希望并放弃尝试。

    思考越来越抽象的概念与跳高多少有些类似。你必须跳过被放置得越来

    越高的横杆。而如果在最开始没有人给你解释如何才能跳过去的话，你就会

    一直碰掉横杆，直至放弃尝试。不同的人会在不同的“高度”达到自己的抽

    象极限，就像在跳高中，横杆每提高一次就会有一部分人失败退出。

    从具体事物到数字的抽象对许多人来说并不困难，他们甚至都没有意识

    到自己进行了这样的抽象转换。让不少人觉得难以逾越的第一道横杆很可能

    是从数字到变量x 和y的转换。他们不会进行这种转换，也不理解这种转换的

    意义，因此他们在数次失败的尝试后选择了放弃。(就像我始终不理解跳高

    的意义一样。但现在，我明白了背越式跳高是一种能使你的身体以一种优雅

    的姿态越过横杆的有效方式。如果当时有人告诉我，完成一次跳高甚至不需

    要让你的身体重心越过横杆，我应该会对跳高更感兴趣。)

    另一个很多人在学习数学的过程中会遇到的瓶颈是微积分——一种全新

    的、奇怪的，甚至可以说是狡猾的运算和推理“无穷小”的事物的方法。一

    部分人通过了严格微积分的考试，但仍然不幸在数学本科阶段或博士阶段遇

    到了瓶颈。

    y x2

    x xx2

    x3

    x

    资深的数学学者可能会遇到的一个抽象瓶颈则是范畴论。他们遇到这个

    困难时的反应就和中学生遇到x和y时的反应一样——他们不理解为什么要这

    么做，并且拒绝进一步的抽象。每到这时，我就会想起约翰·拜艾茲(John

    Baez)教授在国际范畴论论坛上谈到抽象时提出的观点：

    目前来看，我暂时还没有遇到我无法突破的抽象瓶颈，但我仍然记得我

    曾遇到过的几次重大挑战，在那些时刻，我总觉得自己必须奋力一搏才能越

    过面前的横杆。

    从数字到图像

    我母亲教会了我如何画x2

    的函数图，就像这样：我清晰地记得自己对于数字的取平方过程竟然可以转化为一个曲线图像

    这件事的极度困惑。我坐在家里的绿色大扶手椅上想啊想，想到我的大脑都

    快要从头骨里面跳出来了。在我的记忆里，这就是我每一次在做研究时遇到

    一个很难理解的数学概念时的真实感受。

    从数字到字母

    我很擅长解包含变量x 的方程式，比如：

    2x+3=7

    我知道我可以将这个方程式进行如下变换：

    然而，当我第一次遇到一个包含a、b和c而非数字的方程式时，例如：

    ax+b=c我清晰地记得自己完全想不出来该怎样解出这个方程式的x等于多少，因

    为我根本无从知道a、b和c分别是多少。我知道应该在等式的两边同时减去

    b，但我不知道减去b之后，等式的右边该写什么。我还记得，当有人告诉我

    等式的右边应该是c - b的时候，我感觉自己好傻。为什么我就没想到这个答

    案呢？所以，这个方程式的解是：

    就像我总跟我的学生们说的那样，当你因为之前没有搞懂一件事而觉得

    自己很傻的时候，这种心情恰恰说明，你现在比当时更聪明了。

    从数字到关系

    我印象中最近的一次突破抽象瓶颈，是我刚开始学习范畴论的时候。为

    了叙述的完整性和趣味性，我还是先来说明一下这个抽象概念是什么吧

    ——“只包含一个对象的范畴就是幺半群”。尽管笑吧，但这就是当时让我

    困惑不已的那个概念。我连续几天都在思考这个概念，再一次感觉到我的大

    脑快从头骨里面跳出来了，仿佛回到了第一次看到曲线图像的时候。而现

    在，只有一个对象的范畴就是幺半群这个概念对我而言已经是一个理所当然

    的事实，所以我也知道，我肯定比当时更聪明了。现在就来解释这个例子的

    含义还为时尚早，我会在本书的第二部分探讨这个问题。

    下金蛋的鹅制造解决问题的机器

    我们都希望找到制造金蛋的方法，但如果我们能找到直接“制造”一只

    下金蛋的鹅的方法，那就更好了——一个下金蛋的鹅的制造机。更进一步，如果我们能制造一个专门用来制造上面这种机器的机器，岂非更佳？一个制

    造下金蛋的鹅的机器的机器。这就是一种抽象：制造机器来做某件事，而不

    是直接去做某件事。这种做法的目的是节省人力和脑力，让人类只需要负责

    思考那些机器做不到的事情。

    要制造一台机器去做本来由人来做的工作，你首先需要做到在不同的层

    面上对这项工作有所理解。当你走在一个你很熟悉的地方时，你不会去想你

    正在什么街道上走路，或者在哪个路口、什么时候需要转弯，你只需要跟着

    自己的直觉走就好。但如果你要告诉别人该怎么走，你就需要更仔细地分析

    这条路你具体是怎么走的，以便解释给别人听。也许你也有过这样的经历：

    当你向当地人打听某条街道具体在哪里时，他们往往回答不上来，原因就在

    于，当你走在你自己家乡的街道上时，你并不会特地去想这些街道的名字。

    学习外语也是如此。当你学习的是自己的母语时，你通常不会去思考它

    的具体使用规则——你会本能地模仿你周围的大人。而当你长大成人，某个

    外国人问起关于你的母语中一些让他难以理解的部分时，你就不得不回过头

    去以一种完全不同的方式分析自己究竟是如何使用这种语言的。

    如果你想要制造一台做蛋糕的机器，你就必须把制作蛋糕的每个步骤分

    析得清清楚楚，这样你才能弄明白该如何让机器去完成这个任务。即便只是

    打鸡蛋也需要进行认真的分析——我们是怎么知道该用多大的力气把鸡蛋磕

    到碗上的呢？

    2x+3=7

    ax+b=ca b c

    ax2

    +bx+c=0

    切蛋糕

    一个关于抽象的例子

    我还记得第一次做英国中等教育普通证书(GCSE)资格考试的数学考试

    题时的一道题目。那道题是关于在给定可以切的刀数时，能把蛋糕切成最多

    块的方法的。很显然，如果你只能切一刀(直线)，你就只能得到两块蛋

    糕，如果你只能切两刀，那么你最多只能得到四块蛋糕。但是如果你可以切

    三刀、四刀，甚至更多的刀数呢？

    切三刀得到最多块蛋糕的方法如下所示，使用这种切法，你可以切出7块

    蛋糕。对于这个问题，你的第一反应也许和我的一样：这个问题好傻，谁会这

    样切蛋糕？这样切出来的蛋糕都是不同形状的，完全没有意义。对于切蛋糕

    来说，真正重要的是什么？是最多能切多少块，还是切出来的蛋糕大小形状

    是否平均？

    现在，让我们暂且不去考虑蛋糕大小形状的问题，而是尝试着通过这个

    切三刀、四刀……的实验，得到一个公式，用以在给定刀数的情况下计算出

    能切的最多块数。也就是说，我们的目的不在于解决这个具体的问题，而在

    于研发一种机器，用于解决这一类的问题。这就是我们学到的那些含有x、y

    以及其他东西的公式的本质——一台机器。如果我们有了这样一台机器，我

    们就可以把给定的刀数输入这台机器，然后，这台机器就会给出一个答案：

    你能切出来的蛋糕的最多块数。一个公式甚至比一台机器还要更好：它能告

    诉你它所代表的那台机器是怎么工作的，而非仅仅作为一个神秘的黑匣子出

    现。所以，如果这个公式告诉你，问题的答案是：

    它的意思就是，我们可以把x替换成给定的刀数，代入具体数值后计算出

    的结果就是能切出来的蛋糕的最多块数。同样，这也是一种抽象，因为你并

    不是在解决某个具体的问题，而是在讨论一个假设的问题。你并不是真的在

    解决问题，而是在想如何解决问题。除了写出公式本身外，你也可以把所有

    可能的答案列成一张表，如下所示：你不可能把这张表真的“写完”，在某个时候，你不得不停下来，因为

    纸不够用，你的时间也不够用。但公式则不同，它不会“停止”——它是一

    个可以给出任意给定刀数下你能得到的蛋糕块数的最大值的机器。

    也许你不需要准备中等教育普通证书的考试，但也许你的孩子们要准备

    这个考试，而你需要为他们提供辅导。你辅导他们，但你并不会代替他们参

    加这个考试。所以，这也是一个元问题——我们要做的不是真的去解决这个

    问题，而是试图找到让别人能够解决这个问题的方法。教书与此有异曲同工

    之妙，因为你并不是直接告诉学生们问题的答案，而是试着教会他们自己找

    到答案——这与你自己直接回答这个问题隔了一层。培训老师又是更上一层

    的抽象了。以此类推，接下来的一个问题就是，谁来培训这些培训老师的

    人？

    做蛋糕并不需要耗费多少脑力，但发明一种新的蛋糕烹饪方法就不一样

    了，你需要变得比之前更聪明一些。发现一个新的数字显然已经不是一件多

    么“有趣”的事，因为我们已经知道给出所有新数字的方法了。如果你找到

    了治愈癌症的方法，却只是一个病人一个病人地进行治疗，而没有向全世界

    通报这个治愈癌症的方法，那么这简直可以说是不道德了。

    所有这些关于抽象的例子确实让我们远离了现实一步，但我们由此得到

    的是一个更广阔的视角。如果你把一支火把放得远一些，这支火把就会照亮

    更大的区域——但也要注意别放得太远，因为那样的话光就变得太暗了。抽象的数学

    抽象是理解数学的关键。抽象也是数学看起来远离“实际生活”的原因

    所在。这种与实际生活的疏远正是数学发挥其优势的地方，同时也是它的局

    限性所在。每一层次的抽象都使得数学更加远离实际生活，也使得解释它与

    实际生活的关联变得更加困难，因为这种关联有一种多米诺骨牌效应——抽

    象的数学也许不能直接应用于实际生活，但它可以间接地应用在另一种事物

    上，而那种事物可以直接应用于实际生活。这样的应用链可以包含好几节，比如：

    抽象是理解为什么数学与普遍意义上的科学有所不同的关键。对以实证

    为基础的科学来说，证据总是最重要的。首先你需要提出一个“假设”——

    一个你觉得可能正确的理论，不论这个理论是源自观察、直觉、怀疑、偶然

    见闻还是其他。然后，你需要通过寻找符合科学标准的证据来严格检验这个

    假设。这些科学的标准包括：

    最后，你得到的结果必须符合统计学标准。你可能得到了一大堆非常有

    说服力的证据，但你的最终结论总是需要附带一个表示该结论确定性的百分

    比。

    数学则与此不同。数学研究的第一步与其他科学没什么不同——提出一

    个你认为正确的假设。但接下来就不一样了，我们不再使用实证性的方式来

    严格检验这个假设，而是使用逻辑来严格检验这个假设。此处的“严格”就其定义而言与一般科学意义上的“严格”完全不同。它与样本大小无关，因

    为数学研究并不涉及任何样本，而只关乎思考、推演的过程。主观感觉也不

    会影响这个过程，因为我们所做的只是应用逻辑规则而已。

    打个比方，假设你想弄清楚要完全覆盖某尺寸的蛋糕表面需要多少糖霜

    这个问题。你可以直接做个实验——烤一个蛋糕，加上糖霜，然后看看你一

    共用了多少糖霜。或者，你也可以用逻辑进行推理——做一个关于蛋糕表面

    积的计算。要计算这个蛋糕的表面积，你需要先对蛋糕的形状进行模拟——

    比如，你可能需要假设它的表面是一个完全规则的圆形，且表面是完全平滑

    的。当然，实际生活中并不存在完全规则的圆形和完全平滑的蛋糕。但这个

    方法的好处在于，你不需要真的去做一个蛋糕才能弄明白具体需要多少糖

    霜。

    使用逻辑推理来代替实验有许多好处。

    实验可能不切实际

    假设你现在想知道的是盖一座房子需要多少块砖。显然，为了弄清楚这

    个问题而专门盖一座房子是不切实际的。与此类似，假如你想弄明白的是改

    变一条公路的路线会如何影响交通流量呢？

    实验可能过于危险

    假如你想知道的是一座桥可以承受的最大运载量呢？显然，你不可能让

    很多的车辆驶上桥面，然后观察桥会在什么时候崩塌。

    实验可能无法实施

    假如你想知道的是为什么太阳每天都会升起来，或者为什么行星的运行

    轨迹是这样而不是那样的呢？你显然不可能改变外太空的状况，然后看看行

    星会不会改变运行轨迹。

    实验可能会引发灾难假如你想知道的是某种传染病是如何传播的呢？显然，你不可能在人群

    中散播这种疾病的传染病菌，然后看看它是如何传播的，因为这正是你想避

    免的事情。

    实验可能是不道德的

    在我写作本书的时候，我听说有人提出了扑杀獾可以减少牛群肺结核感

    染率的主张。但是，我们该怎样检验这个假设呢？通过杀死很多獾来看看结

    果如何真的合乎道德吗？

    在以上这些情况中，逻辑推理显然要更胜于实验论证。前者最重要的优

    势在于，借助逻辑推理，你所得出的结论不仅仅是“几乎肯定是正确的”，更是完全不可辩驳的。

    逻辑是如何运作的？

    逻辑性论据包含一系列的主张，其中的每一个判断都是完全依据逻辑由

    上一个判断推导出来的。这很好理解，但问题在于，第一个判断从何而来？

    例如，你可以假设你的蛋糕表面是完全规则的圆形。你可以假设一个携带传

    染病菌的人遇到另一个人后将这种疾病传染给对方的概率是50%。这些基础的

    假设构成了抽象过程的一部分。它们通常会涉及对实际生活中的事物的理想

    化，由此你就可以运用逻辑对它们进行推理。这种做法的弊端在于，经过理

    想化的事物与实际生活中的事物不完全相同；而它的优势在于，在完成了理

    想化处理之后，你就可以运用逻辑来分析它们并得出结论了。你得到的最终

    结果的不准确之处就源于你最初对实际问题进行抽象化处理的过程中所丢掉

    的信息。这与统计结果截然不同，因为后者的不准确之处在于，虽然有证据

    支持你的假设，但你的假设仍然有很小的概率是错的。

    采用数学的方法(与之相对的是通常人们所说的“科学的方法”)要求

    你必须清晰地陈述你的假设是什么。人们可以不同意你的假设，但是他们不

    能不同意你的结论，也就是说：例如，如果一只鸡够10个人吃，那么两只鸡就够20个人吃。你可以不同

    意一只鸡够10个人吃这一假设(也许不够10个人吃，除非是某种转基因巨型

    鸡)，但你不能不同意这个结论：

    但这个结论还是存在一个可能的漏洞：所有的鸡都一样大吗？我们也许

    可以加上“所有的鸡大小都差不多”这条假设以确保这个问题可以用数学解

    答。

    这是一个不切实际的假设吗？如果你要给一个40人的聚会订烤鸡，那么

    你很有可能需要做类似的运算，即便每只鸡的大小并不是完全一样的。当

    然，你也可以用实验的方法来解决这个问题：也许你可以依赖餐饮服务商的

    经验，理论上他们拥有足够多的聚会餐食供应经验，知道你应该订多少只

    鸡。

    抽象之所以让人觉得难以理解，是因为它带我们离开了具体事物的世

    界，而进入只存在于头脑中的“概念”的世界。但有一些抽象概念我们已经

    十分熟悉了，因而我们不再能意识到它是一种抽象。打个比方，如果我们开

    始思考一般的鸡有多大这个问题，我们事实上就已经在进行抽象思考了：一

    只“一般的鸡”并不是一只具体的鸡，而是一个关于鸡的概念。还有我之前

    提到的，数字也是一种抽象。数字1、2、3、4……只是一些概念。也正是因

    为它们是概念，我们才得以使用纯粹的逻辑推理来处理它们。

    抽象的美妙之处在于，在你对某个抽象概念已经非常熟悉了以后，它似

    乎就变成了一个具体的事物，而不再是一个想象出来的概念。你也许已经很

    习惯“2”这个概念，这意味着你已经适应了这种程度的抽象。而对

    于“-2”这个概念，你可能就没有那么习惯了。那么2的平方根呢？这是一个

    自己乘以自己等于2的数字。但它到底是什么呢？你也许会说它是1.414…，但这是一个无限不循环小数——你没办法把整个数字写出来，如此一来你该

    如何知道它到底是什么呢？那么-1的平方根呢？我们稍后会进一步探讨这些

    问题，并说明为什么对于严格的数学来说，2的平方根比-2的平方根更复杂，甚至比-1的平方根更复杂，虽然直觉上我们会认为-1的平方根更难理解，因

    为“现实生活”中并不存在与此对应的实际事物。

    抽象这一过程多少有些类似于运用你的想象力。数学的抽象带领我们进

    入一个想象的世界，在这里，任何事情都有可能发生，只要它的存在不是自

    相矛盾的。你能想象透明的乐高积木吗？这并不是很难。那么软软的像橡皮

    泥一样的乐高积木呢？这就有些奇怪了。那么被碰到就会自动变颜色的乐高

    积木呢？或者四维的乐高积木？隐形的乐高积木？早上会给你煮咖啡的乐高

    积木？当然，你能想象出来一样事物，并不意味着它就能存在于实际生活中

    ——尤其是如果你的想象力很丰富的话。而数学世界的美妙就在于，一旦你

    想象出一个数学概念，它就真正在这个世界中存在了。你的想象力越丰富，你就越有机会探索更多的数学领域。另一个我们很熟悉的抽象概念是形状。

    正方形是什么？它是一个包含4条相等的边和4个相等的角的形状。但现实生

    活中存在完美的正方形吗？不存在。仔细考量的话，现实生活中的正方形都

    不是绝对完美的正方形。圆形也是如此。直线呢？真的存在完美的直线吗？

    我想答案是否定的。不过，虽然现实生活中的直线不过是趋近于完美直线这

    个概念的近似物，但我们显然已经非常习惯使用这个概念了。

    运用抽象来计算

    现在我来讲讲如何用抽象的办法解决我们之前提出的两个问题，这样你

    就可以看出抽象化具体是怎么运作的了。

    我用x代表我的年龄，y代表我爸爸的年龄。如此，“爸爸的年龄是我的

    年龄的3倍”就可以写成：

    y=3x

    到目前为止还很简单。但“10年后他的年龄将会是我的年龄的2倍”就有

    些复杂了。这一步的关键就在于，10年之后，我的年龄将会变成x+10，他的年龄将会变成y+10；我们还知道，那时候他的年龄将会是我的2倍，也就是

    说：

    y+10=2(x+10)

    我们可以将第一个等式代入第二个等式，即用3x替代上面这个等式中的

    y，如此，我们就得到：

    3x+10=2(x+10)

    =2x+20 …… 去掉括号做乘法运算

    x+10=20 …… 两边同时减去2x

    x=10 …… 两边同时减去10

    所以我们得出结论：我现在的年龄是10岁(我爸爸的年龄为30岁)。

    请注意，在上述计算中，我们采用了如下几个步骤：

    y=3x

    y+10=2(x+10)

    y=a1x+b1

    y=a2x+b2y

    y=2x+10

    y

    a1x+b1=a2x+b2

    x

    a a

    a a b b y

    x y

    现在我们来看另一个例子。

    我们假设两个蛋糕的表面都是圆形，而且都有2英寸高。我们需要算出6

    英寸和8英寸蛋糕的糖霜覆盖面积，看看后者比前者大多少。因为两个蛋糕的

    表面都是圆形的，所以直接计算半径为r的蛋糕表面的面积相对省力，只需要

    代入r=3或 r=4(半径为直径的一半)即可。以下为具体步骤：

    πr2

    πr πr πrr πr2

    πr

    现在，我们可以用这个方法来算出覆盖两个不同尺寸的蛋糕分别所需的

    糖霜：

    (π×32)+(4π×3)=9π+12π

    =21π

    (π×42)+(4π×4)=16π + 16π

    =32π

    最后我们需要把这个结果转化为一个可以直接应用在做蛋糕上的数字。

    我们需要知道的是，做一个8英寸蛋糕要比做一个6英寸蛋糕多用多少糖霜，所以我们需要知道上面的第二个面积总和比第一个面积总和大多少。也即，我们需要用第二个蛋糕的面积总和除以第一个蛋糕的面积总和。

    因为这只是一个关于覆盖蛋糕表面需要用到多少糖霜的问题，而不是一

    个有关用药剂量之类需要精确计算数值的问题，所以我们在这里取一个近似

    值即可：3221大约等于1.5，也就是说，你需要依照6英寸蛋糕配方中配料的

    1.5倍来准备，才能做好8英寸蛋糕的糖霜。

    在这个问题中，值得注意的是，我们做了一个假设，即蛋糕有2英寸高，所以最终的答案可能不够准确，但不准确的原因只在于这个假设。所以我们最终的、无法辩驳的结论是：

    这个关于蛋糕的例子比那个计算儿子和爸爸的年龄的例子更实用一些。

    关于年龄的那个问题只是一个简单的脑筋急转弯，而关于糖霜的这个问题则

    是一个抽象思维在现实生活中帮助我们解决问题的实例。当然，我们也可以

    通过实验的方法得出答案，比如做出一大堆糖霜来看看大一些的蛋糕会用掉

    多少，但那样做很可能会造成浪费。抽象的方法会耗费更多的脑力，但它不

    会浪费那么多的糖霜。

    1. 1英寸≈ 2.54厘米。——编者注3

    原理

    会议巧克力布丁

    配料

    方法

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    我管这个配方叫作“会议布丁”，是因为我第一次做它是在一次会议晚宴

    之后，一大群数学家高高兴兴地涌入我的公寓，请我做一些布丁吃。我不得不

    在我家的厨房里拿现有的材料进行即兴创作。幸运的是，我总是在厨房里备有

    很多的巧克力。如此，我就可以参照烤蛋糕的基本原理来制作布丁了。同等分

    量的鸡蛋、面粉、黄油和糖就是一个不错的起点——我知道有很多其他的蛋糕

    配方非常复杂，但我们没必要把它们用在这里，不是吗？大多数人都喜爱巧克力，而且放一些巧克力在布丁中间会让布丁内馅儿变得柔软黏稠，而这种温

    热、黏稠的内馅儿带来的味觉快感会淡化人们对布丁其他部分的注意。

    重点在于，如果你理解了一个过程背后的原理，而不是只记住整个过程，你就能更有效地控制这个过程，而一旦出现问题，你也可以更有效地进行解

    决，并且可以更好地调整整个过程的部分环节，以使这个“配方”适用于不同

    的目的。除此之外，在面临极端情况(如缺少配料、器具损坏或喝醉酒身体不

    适……)的时候，你也能应对得更加游刃有余。

    在醉酒的时候烘焙

    如何应对极端情况

    在醉酒的时候开车很危险，这种做法在任何时候都是应该避免的。不过，在醉酒的时候烘焙则很有趣(如果你知道自己在做什么的话)。除了严格遵照

    食谱进行操作，理解烤蛋糕背后的原理还有别的理由。比如，也许你的朋友对

    小麦过敏，那么你就必须烤制不含小麦的蛋糕。(就我的个人经验而言，小麦

    粉在烤布朗尼蛋糕时的最佳替代品是土豆粉，在烤奶酥时的最佳替代品是燕麦

    粉，在烤千层饼时的最佳替代品则是大米粉。)

    或者，也许你想做低脂蛋糕，那么你就需要理解脂肪在蛋糕烘焙中扮演的

    角色，即制造气泡，如此一来，你就可以使用能够发挥相同作用的食物来替代

    油脂，比如一种很特别的配料——苹果泥。

    理解方法背后的原理还能帮助你在不搞砸整个过程的前提下走捷径，而

    且，如果你像我一样懒的话，你就会一直用这种办法找捷径，或者简化步骤。

    比如，当你处于醉酒状态时，分离蛋清和蛋黄会变得困难很多。而涉及巧克力

    的食谱通常都会包含这句话：

    但我们知道，这句话实质上想说的就是“将巧克力融化”。而我因为实在

    好奇为什么碗底不能碰到平底锅的底而尝试了这种“错误”的做法，却发现结果好像并没有什么不同。实际上，我还经常借助微波炉来融化巧克力，或者，更好的办法是，将盛放巧克力的器皿直接放在电磁炉上，调小火加热。烹饪书

    很少向你解释为什么你要这样做某个步骤，这让我很沮丧。但是，理解就是力

    量。如果你帮助某人更好地理解了某样东西，你就赋予了他更多的力量。也许

    那些烹饪书的作者是故意这么做的，他们不想让我们理解太多，否则我们可能

    就不需要他们来发明食谱了。

    在数学中，一个类似的例子就是乘法表。将乘法表背下来的确很有用，因

    为这样一来你就不需要在每一次计算时都扳着手指头数数了。但理解乘法表中

    的运算结果是怎样得出来的也很重要，这样一来，万一你忘记了其中的某些数

    字，你仍然可以手动计算出结果。

    顺便一说，烹饪书总是会告诉你要用塔塔粉做蛋白糖霜脆饼，但我从没用

    过这种食材，而我的蛋白糖霜脆饼依然十分完美，美味无比。

    焊接

    为理解汽车工作原理而进行的尝试

    我16岁的时候曾因为焊接上了电视。当时，学校布置了一项关于汽车的作

    业，我们小组需要在两位物理老师的指导下把一辆旧名爵汽车分解，然后组装

    上新的部件。出于某种原因，我比其他人更擅长焊接，并且我觉得这项工作很

    让人激动——那些噪声、四散的火花、由高温作业带来的温度上升、它所包含

    的潜在的危险性，以及用加热的方式将金属连接起来的“魔力”，都让我深深

    着迷。对比之下，我并不很擅长理解整辆车的运作原理。我所做的只是焊接老

    师叫我焊接的那些零件。

    我猜当地电视台也许是因为觉得一帮女生组装一辆车这件事很奇怪(希望

    现在这件事不会再被认为奇怪了)，所以就决定把我们当作拍摄题材。于是理

    所当然，我焊接零件的场面也被拍了进去。

    采访者问我们是不是想要以此来吸引我们未来的男友，但对我个人而言，我只是因为想理解汽车的工作原理才做这件事的。我仍然认为，理解一件你一

    直在使用的工具其背后的工作原理是个很好的主意，因为这样一来，在发生故

    障的时候，你就掌握了更多的主动权，并且你也更有可能让这件工具最大限度地发挥效用。问题在于，随着科技的进步，事物的原理越来越多地被埋藏在电

    子元件和程序代码中，因而也就更难以被拆解开来，一一理解。在我学会开车

    之后的一段时间里，我碰到的大多数问题都是电子方面的，而非机械方面的。

    不幸的是，当时我试图理解汽车工作原理的计划失败了。我学会了如何焊

    接，但没能进一步理解汽车的工作原理，所以当我的车遇到问题的时候，除了

    请求专业人士的帮助，我依然没有其他选择。而对于数学，如果我遇到了问

    题，我还是有可能自己搞定的——至少，我可以检查一下我的推理，看看其中

    是否存在逻辑漏洞。

    如果在学数学的过程中，孩子们总是得出错误的解答，而找不到错出在哪

    里，那么数学这门课就很可能会让他们失去信心。这就是为什么在数学教学

    中，很重要的一件事是理解学生的思维方式，并且指出他们思考过程中的逻辑

    错误出在哪里，而不是只看最终答案是错是对。

    火星

    当我们在某颗地外星球上寻找生命的时候，我们首先在找的是什么？

    当我们在另一颗行星上寻找生命存在的证据时，我们首先寻找的是水存在

    的迹象。这是因为我们已经得出结论，或者说已经认定，水对生命体是至关重

    要的。

    欧洲的探索者在遥远的殖民地做了许多错误的决定(包括殖民这件事本

    身)，其中之一就是试图在完全不同的气候条件下种植从欧洲带过去的农作

    物。他们完全不理解是什么使得农作物生长，因而也就不知道为什么这些农作

    物在当地气候炎热、土壤贫瘠的地理条件下无法健康生长。也有可能，他们根

    本没有预料到这些遥远的殖民地的气候会与欧洲截然不同。不管出于什么原

    因，这些农作物最终都没能长成。

    学习事物背后的运作原理的目的之一就是理解到底是什么使得它能够正常

    运作，如此一来你才可能知道，当你前往一个遥远的地方，发现其地理条件与

    之前截然不同时，它是否还能正常运作。对于遥远的数学之地，这个道理同样

    适用。比如，“自然数”是我们最为熟悉的数学领域之一。这个概念指的是我们

    数数时所使用的数字：1、2、3、4……它们被称为“自然数”是有原因的——

    它们的存在对人们来说很自然。但问题就是，我们对它们实在太熟悉了，因而

    也就注意不到我们使用它们的地方。就像只有当你的手臂受伤时，你才会意识

    到平时习以为常的、使用双手做的事情现在竟然变得如此困难。我们也许并不

    会注意到什么时候我们需要同时使用两只手，什么时候只用一只手就够了。刷

    牙似乎是单手就可以完成的活动，但你要怎么用单手把牙膏挤到牙刷上呢？吃

    薯片似乎只用一只手就够了，但你要怎么用单手把包装袋打开呢？

    自然数也是这样的。我们理所当然地认为我们可以进行加法和乘法计算，无论数字相加或相乘的顺序为何。我们认为8+4和4+8是一样的，并且我们经常

    使用这个规律来简化计算——把小数字加到大数字上面比把大数字加到小数字

    上面更简单。对于那些还在扳着手指数数的孩子而言，这个规律更是有用。比

    如计算2+26，如果是把26加到2上面，孩子们需要数上很久，但如果是从26开始

    数2个数，计算就会快上很多——而对于老师来说，难处就在于说服孩子们把两

    个数字换位置以后进行相加，两者所得到的答案是一样的。

    同样，6×4和4×6的结果是一样的。这对我们来说是一件好事，因为这意

    味着我们只要背下来乘法口诀表的一半就够了。对我个人而言，在计算4×6的

    时候，我只能把这个计算理解为“6个4”，而不是“4个6”。同样，在计算

    8×6的时候，我只能把它想成“6个8”，而对8×7来说，我则必须把它想成“7

    个8”。下面这张表展示了乘法口诀表中我相对熟悉和不太熟悉的部分——也许

    你也有类似但不同的偏好？你更喜欢“8个6”，还是“6个8”，还是二者皆

    可？对于这张表，我是先从上往下背，然后再从左往右背的，所以我更熟悉“6

    个5”，但没那么熟悉“5个6”。我并不知道我的大脑为什么会以这样的方式处

    理乘法口诀表，不过幸运的是，把乘号前后的两个数字交换位置后得到的答案

    是一样的，这样一来即便我没能背下所有的口诀，我也能根据我知道的那些推

    导出其他的答案。

    但是，如果我们进入了一个这些原理不再适用的数学领域呢？在这种情况

    下，我们不得不开始努力思考这些原理都引起了哪些连锁反应。所有的事情都

    会开始出错。我们还能解方程吗？我们还能画图表吗？我们用于解决所有问题

    的常规办法还能适用吗？在本书的后面，我会对这些问题给出解答。

    一个与自然数有关的有趣的原则是关于质数的。要知道，质数就是只能被1

    和它自己整除的数(而且1不是质数)。所以最开始的几个质数是：

    2，3，5，7，11，13……

    现在，对于任何一个数，我都可以把它写成一个质数运算的结果。比如，6=2×3，除此之外没有其他质数相乘可以得到6，除了把2和3交换位置，而这也

    算不上不同；再比如，24=2×2×2×3，除此以外没有别的质数相乘可以得到24

    这个结果。这是自然数的一个很重要的特性，但它并不适用于数学的所有领

    域。

    这就给数学的探索者制造了一些麻烦，就像欧洲殖民者在与家乡截然不同

    的气候条件下试图种植来自家乡的农作物一样。比如，几次证明费马大定理的

    尝试都失败了，因为当时的研究者认为他们是在一个质因数分解定理成立的数

    学领域里分析这个问题的，但事实并非如此。他们假设火星有水存在，并据此

    设计了一个非常“聪明”的火星探索计划。

    an

    + bn

    =cn

    n32

    +42

    =52

    ，以及52

    +122

    =132

    n

    数字的原则

    数字有哪些基本原理呢？对于这些原理，我们往往会因为过于熟悉而难以

    察觉到它们的存在。以下是一些你也许早已认为是理所当然的关于数字的事

    实：

    x x

    x x类似的“基本原理”还有很多，因此，也许你会想，它们也许能被简化为

    数量更精简的“超级基本原理”。就像幼女童军的法则一样，只有一条：

    总的来讲，上面那些我所列出的数学原理越靠后越难。当你刚开始接触数

    字的时候，你很难理解为什么有加法交换律和乘法交换律，为什么1乘以任何数

    字并不改变那个数字。(最近的一个研究表明，小学生常常在相关的问题上犯

    错。)或者，用数字乘以0，为什么会得到0？或者更难的一条，我们是怎么找

    到“负负得正”这个规律的？

    你也许会想，这些原理是从哪里来的？发现事物背后的运行原理叫作公理

    化(axiomatisation)，我们稍后会进一步讨论这个话题。在数学里，这个概

    念指的是，我们总结出关于某个数学领域的原理，比如关于数字的原理，然后

    看看这些原理在其他领域是否适用。在后文中你会吃惊地发现，“一个数字乘

    以0就等于0”并不是一个适用于所有数学领域的基本原理，它是从更基本的原

    理推导出来的。

    遵循关于数字的原理的事物在很多方面都不得不和数字类似，但它们不必

    是真正的数字。比如这样的多项式：

    4x2

    +3x+2

    它们并不是真的数字，但它们也遵循数字所遵循的那些原理。这就是理解事物背后的原理的意义——把它们应用到其他领域。

    给好奇者的问题

    请给下面这个2×2的表格涂色。规则是蓝色和红色在每行和每列都只能出

    现一次。根据已涂色格子的颜色，你会发现对于剩余的格子，涂色的方法只有

    一种：

    给勇敢者的问题

    请给下面这个3×3的表格涂色，规则与上一个例子相同。我们会发现，对于剩余的空白格子，涂色的方法仍然只有一种。

    “每样东西在每一行和每一列只能出现一次”这一规则多少有点儿像简化

    版的数独，这个规则在数学上被称为“拉丁方阵”(Latin square)性质。这

    是数学中研究“群”概念时的一条十分重要的原理，我们在后文中会再次讨论

    这个数学分支。

    给无畏者的问题那么，规则不变，下面这个4×4的表格又该如何涂色呢？

    这个表格恰好有4种成立的涂色方案。最后一个问题：如果把颜色换成数字，你会觉得这道题变得更难，还是更

    简单了？毕竟，颜色本身对问题的解答并没有什么影响。

    如果换成字母呢？显然，把表格中的某种具体事物替换成数字或字母并不会改变其背后的数

    学原理，无论出现在表格中的具体事物是什么，这些事物的分布模式都不会改

    变。4

    过程

    千层酥

    配料

    方法

    将以上这些简单的配料组合起来的方式有很多，但其中的大多数都无法

    让你做出千层酥。制作千层酥是一个很耗时的过程，很多步骤都对精确性有

    要求，其中就包括反复的冷却、擀皮和折叠，以制作出千层酥区别于其他面

    点的美味的奶油“千层”。因为整个制作过程十分复杂，千层酥素来以难做

    著称。相比之下，它的一个变种，油酥松饼则简单很多。制作油酥松饼需要

    的配料和千层饼一样(除了黄油使用量更少)，而你只需要把配料扔进食物

    处理机就可以把它做出来了。

    数学的魅力之一就在于，像做甜点一样，你可以用很简单的配料做出很

    复杂的成品。当然，复杂烦琐的制作过程也可能会让你感到挫败，就像做千

    层酥一样。就我个人而言，我倒不觉得做千层酥有那么复杂，只要严格遵循

    食谱所写步骤去做就可以了。但我相信，即使你不想自己尝试去做，你仍然

    可以欣赏用如此简单的配料能做出如此美味的甜点这一事实。数学不只是关

    于结果，它更多地是关于理解得出结果的过程。纽约马拉松比赛

    并不只是关于从A地到B地

    2005年，我参加了纽约市马拉松比赛。我觉得这是一个了不起的成就，所以每每有机会我都会跟人炫耀一番。不过老实讲，说我“跑”了马拉松多

    少有点儿言过其实——更准确的说法是，我“小跑”着完成了马拉松。但无

    论如何，我确实从起点出发并最终到达了终点，而且有照片为证。

    纽约市马拉松比赛与其他城市的马拉松比赛有所不同，因为它要求参赛

    选手从A地跑到B地，比如从史坦顿岛出发，最后跑到中央公园。而其他城市

    的马拉松比赛，以芝加哥市马拉松比赛为例，选手需要从格兰特公园出发，按照特定路线跑完一圈后最终又回到格兰特公园。然而，没有人会将从A地出

    发抵达B地视为马拉松比赛的意义——它的真正意义在于你如何到达终点。如

    果马拉松只是关于到达终点本身的话，那么芝加哥市马拉松比赛的参赛选手

    只要站在原地不动就可以了。

    告诉别人你跑过马拉松，与告诉别人你是数学家多少有些类似——有些

    人会觉得你太了不起了，另一些人会觉得你疯了——怎么会有人想去做这件

    事？

    意义更多地在于过程本身，而不只在于抵达终点。有些旅行的目的就是

    到达一个目的地(比如早上去单位上班)，但其他更多的旅行是关于在途中

    发现新事物或欣赏美景的。人们很容易将数学理解为一个想办法得出正确答

    案的过程，而一部分数学分支的确如此。但范畴论更像纽约市马拉松比赛，更多地是关于探索的过程，以及你在这个过程中观察到的事物。它不是关于

    你具体知道什么，而是关于你究竟是怎么知道的。后者是一个更为微妙的问

    题。如果我问你“你知不知道某某事”，那么你给出的答案无非是或否。但

    如果我问你“你是怎么知道这件事的”，那么你的答案就可能很长、很复

    杂，而且远比你是否知晓这个事实性答案更有趣。

    口袋里的钱还在吗？并不只是关于结果

    假设你口袋里有一张10英镑的钞票。现在，趁你不注意的时候，有人偷

    了你的钞票。然后，更加奇怪的事情发生了，另一个人偷偷把一张10英镑的

    钞票放进了你的口袋。对一切完全不知情的你始终相信你口袋里有一张10英

    镑的钞票，而事实的确如此。但是，你得出此结论的原因完全是错的。那

    么，你到底是对的还是错的呢？你的结论是对的，但你的推理过程是错的。

    在数学里，这个答案会被认为是一个错误答案，因为我们感兴趣的是得

    到正确答案的过程，而不只是答案本身。

    欺骗手段大于结果

    如果有人感到开心，但你觉得他们感到开心的原因是错的，你会干涉他

    们吗？假如他们是因为一直酗酒而开心，或者是因为相信自己是上帝而开心

    呢？或者，假如他们是因为他们相信一个你并不相信的上帝在照看他们而开

    心呢？

    你会更希望他们转变认知，在认清现实的同时丧失快乐吗？换句话说，只要目的正当、结果正确，就可以不择手段吗？

    在数学中，我们永远不能为了结果而不择手段。我们必须选择正确的方

    法来证明某个命题的正确性，这也是数学方法存在的根本原因。这个过程被

    称为数学证明，很快我们就会看到它具体是什么样子的。

    积非成是

    为什么数学并不只是关于得到正确答案

    在我给我的学生们出的数学测试题里，我会标明哪些是他们必须将运算

    分解成很多小步骤写出来的题目。而我往往会发现，在某些步骤中，他们很

    容易把正号和负号搞混，从而因为多除了一个-1而把最终答案写错。如果正

    确答案是100，他们很可能会得到-100的错误答案。

    问题是，如果他们犯了两个这样的错误，答案就碰巧被修正了，最后他

    们会得到正确答案100。我记得在某次测试的一道运算题中，大概在其中的6

    个步骤中，这样的错误都是很容易发生的。所以，只要他们犯错的次数是偶

    数次，他们就会得出正确的答案，但事实上，在这个正确答案的背后，很可

    能是其推理过程中的2个、4个或6个错误。

    在数学科学中，除了算数和其他你在中学能学到的数学知识以外，对于

    其他所有的数学分支来说，你能肯定你的答案是正确的唯一方法就是确保你

    的推理过程是正确的。这可不像寻找埃菲尔铁塔，当你看到埃菲尔铁塔出现

    的时候，你就知道你找到它了，因为每个人都知道埃菲尔铁塔的样子。这更

    像是古代探险家的探索活动，他们没有全球卫星定位系统，也没有地图，所

    以他们知道自己在哪里的唯一办法就是非常小心谨慎地规划路线。为什么？为什么？为什么？

    为什么孩子们有他们的理由

    如果你有跟三岁孩子相处的经验的话，你就会知道他们会不停地问为什

    么，从不停下。

    “我为什么不能吃更多的甜点？”

    因为你已经吃得够多了。

    “为什么？”

    因为不然的话，你就会摄入过多的糖，然后你就会睡不着。

    “为什么？”

    呃，因为你的血糖水平会急剧上升，你的代谢率也会突然上升，然

    后……

    不幸的是，我们往往会选择压抑孩子问为什么的天性，仅仅因为被问了

    几次以后我们就会感到厌烦，因为我们很快就到了回答不出来的时候。并

    且，我们不喜欢被迫承认“我不知道”，因为大多数时候我们都不喜欢被挑

    战理解能力和知识储备的极限。

    但孩子们的这种本能仍然很美好，这是知道与理解之间的差别。有些时

    候，孩子们只是想缠着大人，或者推迟睡觉时间，但我认为大多数时候，他

    们是真的被某些问题困扰着，想要更好地理解它们。

    数学的核心就是理解事物，而不仅仅是知道它们。在某种意义上，我从

    未停止过像一个学步期的孩子一样问“为什么”。数学是我认为可以用来探

    索那些问题的答案的最让人满意的方法。因此，不可避免地，我开始对数学

    本身提出“为什么”，而这就是范畴论开始的地方。

    数学证明在数学里，我们用“证明”的方式来解答关于“为什么”的问题。数学

    里的证明比我们在日常生活中用到的证明更为有力。正如我们在第二章提到

    的，这种证明并非关于搜集证据，而是关于运用逻辑。

    例如，你也许想要证明所有的乌鸦都是黑色的。于是你开始找乌鸦。你

    看到的第一只是黑的，第二只也是黑的，第三只还是黑的。你继续找下去。

    那么，什么时候你才能肯定你已经找到足够的证据说明所有的乌鸦都是黑色

    的呢？在你找到一百只以后？一千只以后？一百万只以后？即便你真的做到

    了，这个世界上还是可能有一只古怪的紫色乌鸦存在。

    问题在于，乌鸦的特征并不遵循逻辑，因而试图用逻辑证明它们只有某

    种颜色很难。比如，你可能必须找到一些不可辩驳的基因证据才能说明乌鸦

    只能是黑色的。

    这就是为什么在数学里我们只关注那些遵循逻辑的事物。事实性的证据

    为我们提供了一个开端，让我们可以坐下来尝试着运用数学方法进行论证

    ——但这个基于实证的假设仍然可能是错的。事实上，在很多时候，你会发

    现某个有充足“证据”的假设，并认为它很可能是正确的，于是你决定坐下

    来试着用数学方法来论证它的正确性，结果却发现它完全是错误的。

    举个例子，如果我们想要证明下面这个假设：

    这个例子看起来有点儿蠢，毕竟正方形的定义就规定了它有四条边。

    (乌鸦的定义有没有规定它必须是黑色的？)但如果我们要证明这个命题，我们就不能仅仅是因为“定义如此”就简单认定它是正确的。

    或者，让我们试试证明下面这个假设：

    我们可以先试着找一些证据。哪些数字能被6整除呢？12肯定可以，并且

    它也能被2整除。18呢？是的，也能被6和2整除。24呢？也可以。此时，你就

    可能产生一种这个假设应该没错的感觉。这种感觉是很重要的，在此基础之上，你才会希望证实这种感觉是对的，从而最终真正确信假设的正确性，而

    说服人们确信某事正是数学的使命。

    你能证明为什么以上这个假设是真的吗？你也许会意识到这与6是一个偶

    数有关。

    24=6×4

    6=3×2

    24=3×2×4

    24=3×2×2×2

    这是不是意味着所有能被6整除的数字都必须是偶数呢？事实上的确如

    此。现在我们来看一下为什么。首先，我们应该用以下这种表达来更精确地

    陈述这个事实。我们用字母A来替代“所有数字”。

    A A

    我们现在可以将这个结论进行推广，用任意数字B替代6，用任意数字C替

    代2。由此，我们就得出以下事实：

    A B B C A C

    对于用字母来替代所有数字这种做法，你感觉如何？这个步骤是很多人

    对数学感到不习惯的开始。对有些人来说，这个抽象化的步骤太复杂了，但它带来的好处很明显：我们现在对数字的规则有了更广泛的理解，而不只是

    知道一个特定的关于数字6和2的事实了。因为A、B和C可以是任意数字。

    并且，这一抽象化步骤能让我们从一个更宏观的视角来看待这个问题，从而找到与这个结论类似的其他情形。你能看出以上含有A、B和C的结论与下

    面几个结论的共通之处吗？

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B B C A C

    此类关于A、B、C的关系被称为“传递性”(transitivity)。数学家们

    给了这类关系一个名字，因为它们在许多情形下都会出现，而通过命名，我

    们便可以迅速指认它们，并提醒自己注意其他类似的情形。以下是一些你可

    以试着应用这种传递性的其他关系。

    假设A、B和C都指人。

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B B C A C

    A B C A B B C A

    C

    问题1和问题2的答案必然是肯定的。但问题3不是——如果A是B的妈妈，并且B是C的妈妈，那么A就是C的外婆。因此我们得出结论，即某人是另一人

    的母亲这件事并不具有传递性。不过，某人是另一人的姐妹这件事是有传递性的。那么某人是另一人的朋友这件事呢？你是你朋友的所有朋友的朋友

    吗？

    那么和某人结婚这件事呢？如果我们生活在多配偶制被法律禁止的社会

    中的话，你就只能跟一个人结婚。也就是说如果A和B是夫妻，并且B和C是夫

    妻，那么A和C就必须是同一个人。也就是说，A和C肯定不是夫妻。

    最后我们来看看第7个问题。如果A、B和C这三个地点都在同一个城市或

    国家的话，这个问题的答案就是肯定的。但如果这三个地点是地球上的任意

    地点的话，问题答案是否肯定就不确定了，因为地球是圆的，你可以往东一

    直走下去，最终回到原点。在这个例子里，比起允许三个地点是世界上的任

    意地点，设定一些限制(比如三个地点在同一个城市或国家) 能让这个问

    题变得更容易理解。

    现在让我们回到数字的例子。“可以被某个数整除”具有传递性。但为

    了有效地证明这个结论，我们需要把“可以被某个数整除”变成一个可以用

    逻辑规则来检验的精确描述。这又是另一个可能让人们感到不习惯的步骤。

    为了能够运用逻辑规则，我们必须离开我们已经熟知的那些关于数字的知识

    和情境，离开我们的舒适区。但这一做法的长远回报是巨大的——有很多领

    域是你可以借助逻辑推理来理解却无法用本能和直觉来理解的。就像你必须

    离开舒适的家才能登上飞机去看世界一样。具体而言，在我们这个整除的例

    子里，这个步骤是这样做的：

    A B

    A B

    A k B k

    现在我们可以开始论证了。当我们用精确的数学语言来描述这个问题

    时，我们会使用一种非常特殊的描述结构，从而让每个人都能理解并同意你所描述的东西。这就像是在写一个有开头、中间情节和结尾的故事，只不过

    在告诉每个人中间情节是什么之前，你先告诉了他们结尾是什么。

    开头就是你对于假设和定义的描述。就像设定故事的主要场景，或者在

    戏剧的开场列出全体演员的名单一样。它很可能看起来就像这样：

    定义 A B A k B k

    A B

    现在我们告诉所有人这个故事的结尾是什么，也就是我们的目标结论。

    在数学里，对不同结论的命名有高下之分，这取决于结论的重要性和开拓

    性。一个重要性较小的结论被称为“辅助定理”或“引理”(lemma)，一个

    中等重要的结论被称为“命题”(proposition)，一个相当重要的结论被称

    为“定理”(theorem)。当人们觉得一个结论可能为真，但该结论还未被证

    明 ， 那 么 这 一 结 论 就 被 称 为 “ 猜 想 ” ( conjecture ) 或 “ 假

    说”(hypothesis)。因此，我们有“庞加莱猜想”和“黎曼猜想”，也

    有“费马大定理”。

    事实上，数学家们在给这些结论命名时并非总是意见一致：一个结论该

    被叫作“猜想”还是“假说”并没有非常确切的标准。不仅如此，以费马

    大“定理”为例，费马大定理一直被称作“定理”实际上并不合规，因为它

    是在这样被命名了358年后才有人发表了对它的第一个证明。在此之前，它只

    是一个未被验证的猜想或者假说。此外，还有一些非常重要的结论却被称

    作“引理”，这听起来像是假谦虚，实际上则很可能是因为在最开始完成论

    证时，它们的重要性还未被充分认识到。我们想要证明的关于整除性的结论是关于数字的一个比较重要的结论，所以，依据前文的定义，我把它称作一个命题。

    命题 A B B C A C

    我已经告诉了你故事的开头和结尾，现在，我要告诉你这个故事最重要

    的部分了：中间情节，也就是从开头走向结尾的整个过程。这就是数学证

    明。

    证明：

    A B A k B k

    B C B j C j

    A k j C k J

    A m C m

    A C

    证明完毕。

    数学家并不会真的在证明的结尾写上“证明完毕”这几个字，他们通常

    会画一个正方形表示证明完毕，或者写下“QED”这三个字母，即“quoderat demonstrandum”的缩写，该短语可大致翻译为“这就是我们试图证明

    的结论”。

    你有没有跟上我们刚刚的证明步骤？你是否在我们探讨证明过程之前就

    对原先的结论感到很满意了呢？下面有另外一些关于“为什么”的问题及其

    对应的不同强度的答案。你可以问问自己，对于这些答案，你是会认为它们

    不够有说服力，还是对其感到满意，抑或认为这种解释过于复杂，没什么必

    要呢？根据你的答案，你可以判断出你更适应哪种程度的抽象。

    问题：为什么有人会用三脚凳？

    1. 因为三脚凳比四脚凳更为牢靠。

    2. 因为当你把四脚凳放在地上时，其中一只脚可能会因为比另外三只脚

    高出一些而无法完全与地板贴合，这样一来这个凳子坐起来就会没有那么稳

    固。

    3. 因为经过三维空间中的任意三点的平面有且只有一个，而经过三维空

    间中任意四点的平面可能并不存在。

    问题：为什么八度音听起来很悦耳，而其他的音符组合听起来

    没有那么和谐？

    1. 因为八度音本质上是同一个音的两个版本，所以它们组合在一起听起

    来很和谐。

    2. 因为八度音是一种天然泛音，所以当你弹其中一个音的时候，比它高

    八度的和声就已经产生了。

    3. 因为高八度音的波长是低八度音的波长的一半，所以它们彼此不会干

    扰。

    在以上每个例子里，所有三个答案都是正确的，但它们分别提供了不同

    强度的解释。现在，请你问问你自己，你是对第一个答案感到满意？还是仍

    然好奇，想要寻求更深层次的解答？你的选择完全属于个人偏好，其关乎你愿意将哪种事实认同为“基本”事实或“既定”事实。除了逻辑规则，数学

    几乎不假定任何事实是基本的或者既定的——它总是在寻求更深层次的解

    释。

    1. 也许听起来不像，但这个问题其实是一个真实存在的数学问题。数学家会通过先将目光聚焦

    于小的区域来研究复杂的大区域问题。他们甚至会在数学分析中用到“社区”这个词。5

    推广

    橄榄油李子蛋糕

    配料

    方法

    1.

    2.

    3.

    4.

    如果你发明过食谱，你就会知道你需要先从一本食谱书，或是互联网上

    的一个既有食谱着手，然后根据你自己的喜好、一时兴起或过敏症来调整这

    个食谱。也就是说，你会从一个你熟悉和喜欢的情形入手，看看你能对它做

    些什么改变，让它变得稍有不同——或者变得更好。我小的时候对食用色素过敏，因此我的父母出于对我的爱研究出了如何

    在不使用那些可爱(或可怕)的色彩鲜艳的果冻粉的前提下制作果冻。长大

    后，我开始跟某个对小麦过敏的人约会，于是我为他发明了很多不含小麦粉

    的甜点食谱。(相比之下，做不含小麦粉的主菜更容易一些。)再后来，我

    开始减少糖的摄入量，而我的一些朋友开始避免摄入奶制品……现在，常有

    人抱怨在给朋友做饭的时候，太多人有各种奇怪的饮食限制，这让做出适合

    所有人口味的饭菜几乎是不可能的。如果你也面临这样的问题，那么你有这

    样几个选择：你可以拒绝邀请他们来吃饭，你可以想做什么做什么，彻底忽

    略他们的饮食喜好，你可以请他们自带食物，或者，你也可以直面挑战，在

    遵循每个人的饮食限制的前提下，做出适合所有人的食物。

    我发明这个橄榄油李子蛋糕的初衷就是做出让来参加聚会的坚持无麸质

    饮食、无奶制品饮食、无糖饮食以及坚持原始人饮食法的各位朋友都能吃的

    蛋糕。当时，唯一不能吃这个蛋糕的是一位在那段时间里坚持只吃西葫芦和

    印度酥油的客人。每个人都表示蛋糕很美味，但当他们问我这种蛋糕叫什么

    名字的时候，我却回答不出来，因为它并不是传统意义上的“蛋糕”，只能

    算作一种广义上的蛋糕。它和蛋糕有很多共通之处：它看起来像蛋糕，做起

    来像蛋糕，扮演蛋糕的角色，但仍然不完全是蛋糕。在一个普通蛋糕不适用

    的情境里，它解决了我面临的困境。

    这就是数学中“推广”(generalisation)这个概念的意义——你从一

    个你熟悉的情境出发，对其稍加改动，使其可以应用于更多的其他情境。这

    个概念之所以被称为“推广”是因为它对某个概念的内涵进行了扩充，于

    是，“蛋糕”这一概念就可以将一些近似蛋糕但并不完全是蛋糕的其他食物

    囊括在内。这并不等于笼统的陈述，那是这个词的另外一种用法，我们在后

    文中会再次探讨这个问题。无面粉巧克力蛋糕

    通过省略来创造

    假设我们希望“证明”这件事：你必须把水烧开，然后才能拿它来泡

    茶。你也许会试着用未烧开的水来泡茶，然后你可能发现这次的茶很难喝

    (或者根本喝不出味道)，于是你下结论说：是的，你的确需要把水烧开才

    能泡茶。

    或者，你可能希望“证明”这件事：你需要为汽车加汽油才能驱动汽车

    前进。你试着启动油箱已空的汽车，发现无法启动。于是你下结论说：你的

    确需要为汽车加汽油才能驱动汽车前进。

    在数学里，这种证明方法被称为“反证法”——做与待证结论相反的

    事，然后证明在这种情况下你会得到完全错误的结果，于是得出待证结论是

    正确的这一判断。

    n n2

    n

    n2

    n

    n2

    n2n

    有时，反证法并不能让人满意，因为它并没有解释为什么一件事是真

    的，它只解释了为什么一件事不可能是假的。我们在后文中会反过来继续探

    讨这个关于“富有启发性的”和“无启发性的”证明之差别的问题，以及某

    件事如果不假必然为真这个预设。

    一个更有名、更长的反证法案例是关于√2是无理数的证明，即证明√2

    不能被写成分数ab(其中a和b为整数)这一形式。你也许知道

    √2=1.4142135…，并且它的小数位“无限不循环”，这些要素都是无理数的

    特点，但并不能作为一种证明。以下是我们的证明过程。

    证明： a b

    a b

    2b2

    =a2

    a2

    a

    a a2

    a aa=2c

    b2

    =2c2

    a b

    b2

    b

    a b a b

    a b

    a b

    反证法是一种非常有效率的证明方法，当数学家无法直接证明一个结论

    为真的时候，他们可能会将反证法作为万不得已的最后手段——证明待证结

    论不可能是假的。有时，反证法可能并不能达成你期待的效果。比如，也许

    你尝试证明做巧克力蛋糕必须用到面粉。于是你试着做了一个不含面粉的巧

    克力蛋糕，结果你发现味道也不错。实际上，你所做的事情是发明了一种全

    新的蛋糕：无面粉巧克力蛋糕，而这种蛋糕目前在许多高档餐厅十分流行。

    酵母和面包的关系也是如此。你也许希望证明做面包必须用到酵母。于

    是你尝试着做了不加酵母的面包，从而意外“发明”了无酵饼。

    类似的事情在数学里也会发生——一开始，你希望证明的是某件事是不

    可能的，最后却意外地发现它其实是可能的，虽然你得到的结果可能与待证

    结论稍有不同。这是推广的一种可能的方式，几乎完全出于偶然。符合此描

    述的最重要的一个例子发生在几何学领域，与平行线有关。平行线

    欧几里得的天才

    在很久以前，欧几里得就尝试着总结出了几何学的规则。他的初衷是确

    定几何学的公理，即列出一张包含所有关于几何学的事实都可以据此推导出

    来的基本规则的简短清单。这些基本规则应该是一些最基本的事实，你无法

    想象它们可以由任何其他的事物推导出来——它们的真不证自明。

    不管怎样，欧几里得最终想出了4条非常简单而直观的规则，以及一条复

    杂到令人恼火的规则：

    这些听起来都很直观，不是吗？再看看第五条：

    最后一条规则的意思是，如果三条直线彼此垂直的话，其中两条就是平

    行线，那么不管它们有多长，它们都不会相交。

    这就是为什么第五条规则也被称为“平行公设”，虽然它实际上并没有

    直接提及平行线这个概念。第五条规则也告诉了我们，三角形的三个内角之

    和总是180°。第五条规则听起来比其他几条复杂很多，因而几百年来，很多人试图证

    明它是一条多余的规则，也即它可以由其他四条规则推导出来。大家都认同

    这条规则是正确的，唯一的分歧在于它是否需要这样被强调，是不是有了其

    他的规则，我们自然就能推导出这条规则，而不必特意多说一遍。

    为了证明这个判断，人们来回地兜圈子。偶尔，他们觉得自己已经用前

    四条规则推导出了第五条规则，但事实上他们总是在证明的过程中不小心用

    到了一些对他们而言不证自明，但实质上只不过是将第五条规则微妙地转换

    了形式的几何假设。所以，他们所做的不过是用第五条规则自身来证明第五

    条规则，算不上是多么石破天惊的发现。

    最后，大家决定用反证法来证明它。也就是说，他们先假设前四条规则

    是真的，最后一条是假的，然后尝试着在证明过程中发现矛盾。

    有趣的事发生了，就像无面粉巧克力蛋糕一样，证明过程中矛盾没有出

    现，反而是一种新的不同的结论被发现了——他们发明了一种几何学的新形

    式。出租车

    对“距离”概念的推广

    在英语中，我们常用“像乌鸦一样飞”这个短语来表示走直线，但当你

    真的去旅行的时候，你就会发现走直线几乎是不可能的。因此，从A地到B地

    的距离通常取决于你准备怎么走。并且，这种选择也会影响距离远近对你的

    重要性。

    如果你准备坐火车前往目的地的话，你通常会在起点买好票，而且也不

    用考虑火车具体走了多远的距离这个问题。但如果你准备坐出租车前往目的

    地的话，你就会很在意整个路程到底有多远。要注意，我们讨论的不是两地

    间的直线距离，而是“出租车行驶的距离”。这件事会受到很多因素的影

    响，比如出租车司机会不会绕远。对此，我们最好假定出租车司机是诚实

    的，选择了最佳路线，就像我们假定乌鸦会飞直线而不会为了看风景绕路一

    样。但两者的主要区别在于，在当前这种情况下，出租车行进的距离还取决

    于一些额外的因素，比如是否经过单行道等，因此，适用于直线距离的原则

    就不再适用于出租车出行了。(也许有一天我们能发明出会飞的、可以走直

    线的出租车，但据我所知，目前我们还做不到。)

    举个例子，对于乌鸦来说，从A到B的距离等于从B到A的距离。但对于出

    租车而言，情况就未必如此了。比如，你坐出租车从单行道的一端开到另一

    端，就比你从另一端绕路回到这一端的距离要短很多。

    如果我在谷歌地图上查从谢菲尔德火车站到谢菲尔德市政厅的路线的

    话，我会得到这样的结果：对于像伦敦这样的城市，人们很难计算出在乘坐出租车的情况下从A地到

    B地的距离，因为这类城市的单行道系统很复杂，道路曲折，而且你往往会因

    为担心出租车的费用过于昂贵而无法专心计算距离。所以我们这里以芝加哥

    为例，芝加哥的出租车行驶距离要容易计算得多，原因有如下几个：

    当然，芝加哥的道路系统并不是一个严格意义上的网格状系统，它还包

    括以对角线形式穿越整个网格系统的大型高速公路。但我们现在暂且不考虑

    对角线公路这一细节。我们会在下文中看到，丢掉一部分会带来麻烦的细节

    就是一种“理想化”，这对数学而言是一个很重要的环节。这件事可能会让

    人感到沮丧(毕竟对角线形式的高速公路是真实存在的)，但这种做法的目

    的是理解某些事物的运作原理，而非建立一个精确的模型。我们现在的目标

    是解释清楚“距离”这个概念。既然我们已经把芝加哥变成一个出租车行驶方便的、道路彼此垂直的“理想化的网格体系”，那么从A地到B地的出租车

    行驶距离就可以简化为：

    水平距离+垂直距离

    也就是说，无论出租车司机选取了怎样的路线，其整个行驶距离也不可

    能短于先一路横着开，再一路竖着开的行驶距离。即使我们在不同的路口转

    弯，比如像这样：整个行驶距离还是一样，因为我们不考虑转弯的时间。然而，如果我们

    以一种完全不合理的方式在中途来回转弯，那么整个行驶距离就会变长，比

    如像这样：

    如果你还记得毕达哥拉斯定理的话，你也许会记得它告诉了我们如何计

    算一个直角三角形的斜边长度。在我们这个例子里，计算斜边的长度就相当

    于计算两地之间的直线距离。毕达哥拉斯定理是这么说的：

    将该定理应用于上图这个例子，则：

    D2

    =V2

    +H2

    如此，我们就可以算出斜边，也就是两地间的直线距离D：

    换句话说，乌鸦只需要飞5个街区的距离就可以从A地到达B地。而出租车

    需要行驶的水平距离加上垂直距离是：

    出租车距离=V+H

    =4+3=7

    也即出租车需要行驶7个街区的距离。乌鸦知道沿对角线飞距离更短。但

    对于出租车来说，即便我们沿着对角线的方向行驶也不会更快到达目的地，因为我们还是要沿着横向和纵向的道路交替前进，而这些距离加起来与先一

    路横着开，再一路竖着开的总距离是一样的，甚至更糟：因为我们要拐更多

    的弯。

    即便如此，出租车的行驶距离仍然是一个很合适阐述“距离”概念的情

    境，而且也是一个很好的关于推广的例子。我们又一次从我们熟悉和喜欢的

    概念出发，延伸出了其他一些类似的但又略有不同的概念。那么，还有什么

    其他的事物符合“距离”这个定义呢？这个理想化的出租车行驶距离符合直

    线距离的两条规则。

    A B A B

    A B B A

    还有第三条规则。这条规则与毕达哥拉斯三角形有关，它说的是：如果

    你想从A地到B地去，并且中间需要经过任意点C，那么这段距离永远不可能短

    于A与B之间的直线距离。通常，经过点C会让距离变长，如下所示：

    而在最佳情况下，C点位于从A到B的直线路程，此时从A到B的直线距离与

    从A到B且经过C的距离就是相同的。

    (当然，你大概很难给你的出租车司机解释这些。)这个关于中途经过

    某地的情形在数学中被称为“三角不等式”，因为它与三角形的三边关系有关。这一次，这个三角形不再必须是一个直角三角形了。该规则看起来就像

    是毕达哥拉斯定理的一个弱化版本。

    毕达哥拉斯：

    三角形不等式：

    这里所谓“最坏的情况”指的是“最长距离”(因为我们讨论的情境是

    出租车行驶距离)，也就是说，如果三角形的三边分别是x、y和z的话，那么

    x最大可以是y+z。你可以想象在这种情况下，我们会得到一个极其平扁、细

    长的三角形，其中y边和z边将三角形向两边撑开，因此x边必须非常长才能与

    它们连接上。就像这样：

    现在，让我们想象三角形的边是三个地点A、B和C之间的距离，这样我们

    就可以得到前面介绍的“中途经过点”的规则了。

    就我个人而言，这个三角不等式有两点很有意思。第一点是，出租车行

    驶距离也遵循这个规则。第二个是，有一种非常常见的“距离”概念的实际

    应用情形并不遵循这个规则。第二点常常让我感到沮丧，这个情形就是火车

    票。

    火车票

    对“距离”概念的继续推广

    如果你在英国坐过很多次火车，你就会明白我的意思。有时候，当你想

    坐火车从A地去B地的时候，你会很气愤地发现，买两张先前往某个中间地

    点、再前往最终目的地的单程票的价格要低于买一张从A地到B地的直达火车

    票的价格。更让人觉得愚蠢的是，有时你甚至不需要另选一条路线，前往某个你本来不需要去的中间地点——你只需要把本来的行程分成两段，甚至不

    需要中间下车，就可以用更少的钱到达目的地。注意，这里我们讨论的不是A

    地到B地的距离，而是这段路程的票价。在一个理性的世界里，火车票价格应

    该遵循三角不等式——在从A地到B地的路途中经过另一地点C的行程票价不会

    低于直接从A地到B地的行程票价。但在实际生活中，它并不遵循这个规则，或者至少存在不遵循此规则的可能性。

    以从谢菲尔德到卡地夫为例。买一张从谢菲尔德到伯明翰的火车票和一

    张从伯明翰到卡地夫的火车票的总价格，要比直接买一张从谢菲尔德到卡地

    夫的火车票便宜。

    而以从谢菲尔德到盖特威克为例的话，那么买一张从谢菲尔德到伦敦的

    火车票和一张从伦敦到盖特威克的火车票的总价格，要比直接买一张从谢菲

    尔德到盖特威克的火车票便宜。

    或者，以从谢菲尔德到布里斯托为例的话，买一张从谢菲尔德到切尔滕

    纳姆的火车票和一张从切尔滕纳姆到布里斯托的火车票的总价格，要比直接

    买一张从谢菲尔德到布里斯托的火车票便宜。

    除此以外，英国的火车票票价还有一些其他的奇怪现象，比如：

    后面几个现象很难用之前我们提到的关于距离的三条规则来解释，因为

    它们更多受到价格和距离的关系或价格和时间的关系的影响，所以在这里我

    们暂且不去讨论它们。在数学中，我们通常会优先处理简单一些的问题，这

    并不是因为数学家都是胆小鬼，而是因为复杂的问题通常建立在简单问题的

    基础之上，所以我们必须先解决简单的问题。

    为了明白这些规则为什么起作用，看看它们在什么情形下不起作用会很

    有帮助。为什么人们不能在地铁上吸烟？因为会引起混乱。为什么人们不能在地铁站吸烟？因为会造成火灾，带来人员伤亡。这就像我们试图理解事物

    背后的原理，而不只是记住这些规则或盲从食谱一样。

    现在，我们的三条关于距离的规则如下。

    A B A B A B

    A B B A

    A B A B

    以上就是我们总结出的一些关于距离的公理，而现在，我们要做人们在

    规则面前通常忍不住要做的事：试着打破规则。在数学里，打破规则的目的

    不是标榜叛逆，而是检验这个规则的有效性和应用边界。

    我们已经看到了打破规则三(火车票)和规则二(单行道)的两个关于

    距离的实际案例，那么规则一呢？也许你认为打破规则一的实际案例是不存

    在的，但它的确存在。

    网络约会

    对“距离”概念的进一步推广

    全球卫星定位系统(GPS)是一种神奇的技术。它的出现让我比以往更少

    迷路了，尤其是在坐公交车的时候，因为我可以在车上通过实时更新位置信

    息的手机地图跟踪自己的定位，然后奇迹般地在正确的站下车。

    GPS也让网络约会变得快捷许多。在原先的慢速模式里，你可以通过对方

    公开的文字信息知道其是否与你在同一个城市，或者是否在你方圆100英里

    或200英里以内。而有了GPS以后，你可以直接看到对方此刻距你多少米远。

    我曾经看到过我的朋友在酒吧里使用手机约会软件(当然，只是为了好

    玩……)，我切身感受到了看到某个你心仪的约会对象距离你很近，并且越

    来越近时的那种激动。“看，这个人距离我只有200米远……150米……50米

    ——等等，难道他已经和我在同一个地方了？”然而，GPS显示的距离也可能与实际不符，因为它是根据卫星定位系统进

    行计算的，并没有考虑到你所在的位置距离地面的高度。我的一个朋友曾独

    自一人在酒店的房间里待着，然后很困惑地看到有很多有趣的聚会正在距离

    他“0米远”的地方举行。“可是，”他抱怨说，“我还是一个人待在酒店的

    房间里啊。”

    这也是一个关于距离的实际案例，而且它并不遵循规则一——当且仅当

    你与某人处在同一地点时，你与其距离为零。这个情境还有一些比网络约会

    更有意义的应用实例。比如，如果你遇到的与距离有关的问题并不是从A地走

    到B地，而是把某物从A地运到B地所需的能量呢？这样一来，如果A地就在B地

    的正上方，那么你就可以直接把东西扔下去，因而把东西从A地搬到B地所需

    要的能量就为0，尽管A地和B地并不是同一个地点。

    A B

    A

    B

    三维的笔

    通过增加维度来推广

    我们刚刚已经看到，借助GPS技术实现网络约会的问题在于，GPS假设我

    们身处于一个二维世界。这种假设对于开车找路是有帮助的，但对于在摩天

    大楼里寻找潜在约会对象就不那么有帮助了，因为在这种情况下，第三个维

    度很重要。增加维度是数学推广的一种重要形式。有一个笑话是这么说的，如果你

    参加了一个数学研讨会，那么即便你什么也没听懂，你也可以提出一个听起

    来很像模像样的问题：“这可以推广到更高的维度吗？”。

    球面是圆形在更高维度上的推广，当然前提是你要用正确的方式看待圆

    形。让我们来想一想我们是怎么用圆规画圆的(虽然现在我们通常会直接借

    助电脑上的“画圆”程序来画)。首先，你要选择某个尺寸作为圆的半径，比如5厘米。然后，你需要将圆规一脚固定于圆的中心点位置，用活动的另一

    脚画出所有距离中心点5厘米的点。

    现在假设你有一只可以在空中画图的笔(这是我一直梦想拥有的)。将

    这支笔作为圆规的一脚，然后用它来画出距离某个中心点5厘米的所有方向的

    点。你就得到了一个球面。

    数学家们很乐意就此把这个概念推广至四维、五维甚至更高维度的空

    间，虽然我们很可能并不知道更高维度的空间本身究竟意味着什么。根据这

    个概念的定义本身，一个四维空间中的半径为5厘米的球面就是“那个空间里

    所有距一个固定点的距离为5厘米的点”。因为这只是一个概念，而不是一个

    实物，所以我们知不知道它看起来是什么样子的并不重要。重要的只是这个

    概念本身是合理的。不过，对于一个概念而言，在某个方向上的推广是合理

    的并不意味着就不存在其他合理的推广方向了。

    甜甜圈

    关于圆的不同推广

    想象一个甜甜圈，一个环形的甜甜圈，如下图所示。当数学家们说“甜甜圈”的时候，他们指的都是环形的甜甜圈——至少

    在他们讨论数学的时候是这样。也许他们该改口称其为“贝果面包”或面包

    圈。

    你可以怎样推广甜甜圈这个概念呢？最直接的办法是给它更多的洞，比

    如有两个洞的甜甜圈。但我们还有另外一种推广的方式。在使用这种方式时，我们需要更仔细

    地看待我们的甜甜圈。当数学家们思考甜甜圈的时候，他们通常只是在讨论

    甜甜圈的表面，而不是实心的甜甜圈。类似地，当他们说“球”的时候通常

    指的只是球面，就像只考虑橙子的表皮而非整个橙子。一个球面就像一个气

    球，它的内部是空的。

    甜甜圈也是如此。想象一下用魔法把一卷卫生纸转化为一个可随意拉伸

    的橡胶材质的圆筒，然后把它弯成一个圆圆的环。或者，想象一下把一个彩

    虹圈弯成一个圆，头尾相接，如下图所示。它看起来和一个环形甜甜圈很

    像，只不过它是中空的。

    它的数学名称叫作“环面”(torus)。

    现在让我们回顾一下我们是如何把一卷卫生纸变成一个环面的。或者，你也可以想象用泡泡制作一个类似的形状：用一个沾着足够多泡泡液的大的

    泡泡棒在空气中拖出一个大泡泡——不是用嘴吹，而是边走边拖泡泡棒，在

    绕了一个圈之后，这个泡泡环就能头尾相接了。它的样子看起来就像一个大

    型甜甜圈——一个空心的甜甜圈，一个空心的泡泡甜甜圈。

    我们通过在空中以圆形轨迹拖泡泡棒得到了这个环面，这也说明环面是

    圆形的一种推广——我们所做的不过是改用泡泡棒而非画笔在空中画圆。现

    在，进一步对环面这个概念进行推广可能就会变得有些奇怪了。想象一下拖

    着一整个甜甜圈在空中画出圆的轨迹。你很难想象它的样子，因为它并不适

    合三维空间，但至少你大概可以想象得到它绝对不是一个两个洞的甜甜圈。概括性陈述

    另一种推广方式

    “英国总是下雨。”

    “火车从不准时。”

    “看歌剧很贵。”

    “你总是那么说。”

    这些都是概括性陈述的例子，也属于推广的一类。不过，这种推广方式

    与你把一个普通甜甜圈变成一个有两个洞的甜甜圈不同。这种推广更多的不

    是放宽一些条件让更多的符合者进来，而是暂时忽略一些没那么重要的因

    素，聚焦于核心属性。

    当然，这些概括性陈述并不是完全正确的：火车偶尔也会准时；英国总

    有不下雨的时候；你可以很容易在伦敦买到10英镑以下的歌剧票；你也不

    是“总是那么说”(不管那具体是什么)，只是在特定情况下才会那样说。

    问题是，这些例外重要吗？我们主要研究的是例外情况还是通常情况下的行

    为？

    答案是，我们两者都研究。我们不可能只研究一个而不管另一个。从例

    外情况中，我们可以学到很多有趣的东西，即使那些例外情况很罕见，并且

    没那么有代表性。而如果我们不研究常规情况，我们又如何知道某种情况是

    反常的呢？这就需要我们暂时忽略特殊情况了。

    甜甜圈和咖啡杯

    拓扑学入门

    结合我们之前关于距离问题和甜甜圈的讨论，我们便来到了数学的一个

    名叫“拓扑学”的分支，它研究的是事物的形状。我们已经讨论过多种关于

    距离概念的推广方式，由此我们得到了很多类似距离，但又并不完全符合距

    离概念的所有规则的事物。现在，我们可以更进一步推广这个概念了，因为有时候我们并不关心两

    个事物的距离究竟有多远，而只想知道我们能不能从一地去到另一地，以及

    怎么去。如果你住在英格兰南面的话，怀特岛也许离你比苏格兰更近，但事

    实上你并不能直接开车过去——这完全是另外一种麻烦。

    同样的问题在城市街区也是存在的。比如在芝加哥这样的城市里，你可

    能突然就从一个街区来到了另一个街区，虽然实际上你只过了一条马路——

    整个路程很短，但你已经来到了一个不同的街区。

    不关心距离也就意味着不关心尺寸，就像相似三角形一样，以下这些圆

    形也可被视为“相同”：

    另外一个我们并不太关心的问题是曲率。所以下面这两个形状也可被视

    为“相同”：

    我们现在只关心一个东西有多少个洞。所以在我们现在讨论的体系里，不仅所有的三角形是“相同”的，而且三角形和正方形、圆形也是“相

    同”的：他们都属于只有一个洞的形状。相比之下，数字8则属于完全不同的

    另一种形状，因为它有两个洞。

    思考这个问题的一种方法是想象所有东西都是用橡皮泥做的：想象一下

    你能否将一个形状捏成另一个形状，同时保证不制造出新的洞，也不需要将

    其他的形状粘在它上面。问题：

    我们也可以尝试在更高的维度讨论这个问题。想象一下我们用一团橡皮

    泥做出一个甜甜圈。我们有两种制作方法：你可以先捏出一个香肠的形状，然后把它的头尾相连，也可以在揉成一团的橡皮泥中间戳一个洞。不管使用

    哪种方法，你的做法都证明了从拓扑学的角度来看，甜甜圈和一团橡皮泥是

    不同的。而当你做好了甜甜圈以后，你不必戳新的洞也不必粘上另一块橡皮

    泥就可以用它做出一个咖啡杯。甜甜圈的洞可以被视为咖啡杯把手与杯身之

    间的那个洞，你只需要把实心的部分捏出凹面做成杯肚的形状，咖啡杯就做

    成了。也就是说：

    而与此相对，我们之前提到的“两个洞的甜甜圈”则与一个洞的甜甜圈

    或者咖啡杯完全不同。关于事物在拓扑学上的异同这个问题有很多应用。比

    如，之前我们讨论过关于绳结的数学，而绳结是拓扑学研究的一类对象。在

    借助拓扑学研究绳结的过程中，一个很奇妙的思考方式就是，你并不是在空

    白的纸上用彩色画笔画画，而是先用彩色画笔涂满一整张纸，然后擦掉你想

    擦的部分，以此完成一张主体部分为白色而背景为彩色的画。现在，让我们

    想象一下在三维空间里进行这样的创作。

    想象一下你拿着一支“可以在空中画画的彩色笔”，你将一个盒子的内

    部空间填满了颜色。然后，你又拿出一个“可以在空中使用的橡皮擦”，用

    它在你刚才填色的部分擦出一个绳结的形状。现在，整个空间剩下的彩色部

    分就是一个几乎无法想象，却很容易用数学方法进行研究的形状。一次对想象力的挑战

    我们刚才描述的那种在三维空间里去掉某物的过程叫作取“补集”。一

    旦我们完成了这个过程，我们就可以像捏橡皮泥一样任意改变剩下那部分的

    形状，前提是不增加洞的数量或者粘上另一块橡皮泥。你能想象出下面这些

    形状的补集吗？

    这还是一些很简单的形状，但是已经很难直观地想象出来了。数学的强

    大之处就在于它使得我们不需要真正将某个概念想象成实物就可以对问题进

    行严谨的研究。

    另外一个例子是关于用纸剪下某个平面形状然后将它们粘成一个三维的

    图形。你也许还记得如何用一张纸折成一个正方体：如果你将这个形状沿着外围轮廓剪下来，然后沿各条线折叠，你就可以

    把重合的边粘起来得到一个正方体。或者，你也可以试试将下面这个图形折

    成三维图形：

    你会得到一个三角形的金字塔，它的数学名称叫作“四面体”。

    现在，请想象一下用可以任意塑形的橡皮泥片代替纸做同样的事情。这

    样一来，我们就可以用下图所示的正方形橡皮泥片制作甜甜圈(环面)了

    ——我们要确保把标为A的边都粘在一起，使箭头的方向保持一致，对于标为

    B的边也进行一样的操作：

    你完成了吗？接下来是真正的挑战。遵循刚刚的操作规则，即将字母相

    同的边粘起来且确保箭头方向一致，你能想象出用下面这个八边形橡皮泥片

    折成的立体图形会是什么形状吗？答案是：有两个洞的甜甜圈。

    现在，你可以将此推广至有更多洞的甜甜圈——试图凭大脑想象出最终

    的图形是很难的，但拓扑学给了我们一种可以严谨地研究这些关于比我们能

    够想象出的图形复杂得多的图形的问题的方法。

    一个推广游戏

    下面这些形状有什么共性？

    答案是它们都有四条边。你能把它们按照概括性程度的高低依次排列

    吗？从前一个图形到后一个图形，推广的方式又是怎样的？

    按照概括性从低到高，图形正确的排列顺序是：

    推广过程是这样的：在这个例子里，我们看到推广的每一步都是去掉了前一个图形定义中的

    一个限定条件，使得更多的图形符合新的定义。适当放宽条件是数学推广的

    一种常见方式。

    你也许注意到了，在这个过程中，还有一步可能发生的推广，即从正方

    形推广至长方形。长方形是正方形的另一种方式的推广——菱形的四条边相

    等，但四个内角可能不等，而长方形的四个内角相同，但四条边可能不同。

    当我们对所有条件逐一放宽时，我们就得到了推广的不同方式。推广不是一

    个自动化的过程。推广总是有不同的可能性，而推广的结果并不完全取决于

    推广的程度，它也取决于推广的方向，即你看待某个概念的角度。这就是为

    什么数学是一个以不断增长的速度发展的学科，因为每一次推广都带来了更

    多其他的推广。

    1. 1英里≈1609.344米。——编者注6

    内在和外在

    巧克力梅干面包奶油布丁

    配料

    方法

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.7.

    上面这个巧克力梅干面包奶油布丁的食谱是我在某年做了圣诞节布丁之

    后发明出来的。我当时有一些陈面包(我通常不直接吃面包，而且由于我把

    面包边都切掉了，所以它们变得又干又硬)和梅子干(同样，一旦打开过包

    装，它们很快就变得像石头一样硬了)，当然，还有很多巧克力，这是我家

    的常备品。

    我们节俭的祖先用剩菜发明了很多食谱。农舍派和牧羊人派是为了把周

    日午餐聚会剩下的烤肉消灭掉而发明的，面包奶油布丁和法式吐司[或者按

    照法国人的叫法是pain perdu，按字面意思就是“丢掉的(或浪费掉的)面

    包”]是为了消灭陈面包而发明的用牛奶和鸡蛋软化它的食谱。中国人也有

    一个类似的发明，即蛋炒饭，具体而言就是用蛋液翻炒前一天剩下的米饭使

    其软化。过熟的香蕉可以做成美味的香蕉蛋糕。此外，每个人都有他们自己

    的消灭圣诞节后大量剩余的火鸡肉的方法——火鸡咖喱？火鸡派？我本人最

    喜欢的是我妈妈做的花生酱火鸡意面沙拉。

    在所有这些例子里，如果你刻意地寻找食材来做本该用剩余食物做的菜

    的话，你就本末倒置了。其实对于普通的食谱也一样，就像我们在第一章提

    到的：你可以选择一个食谱，然后根据食谱去购买所需的原材料，或者，你

    也可以在逛超市的时候买一些自己感兴趣的食材，看看你能发明出什么新菜

    品。

    我认为，这些例子阐释了内在动机和外在动机的区别。如果你先选定了

    一个菜谱，那么按照它来买菜做饭就是一个出于外在动机的行动；如果你决

    定使用已有的原材料做饭，那么这就是一个出于内在动机的行动。还有一些

    时候，你已经有了一个大致的计划，但你决定边做边创造，看看自己最终究

    竟会做出什么。如果你做出了你本来计划做的东西，那么你的内在动机和外

    在动机就完美统一了。另一些时候，你做出来的东西和你的预期完全不同，但可能同样很棒。或者，你可能本来并没有什么具体的预期，但最终的成品

    一样很好(就像我第一次在无意中做出了无麸质巧克力能量棒一样)。对于

    最后一种情况，我们可以称为“幸运的意外”。这种情况与内在动机和外在

    动机的统一不一样。有趣的是，在厨房里，我更多地受到外在动机的驱使。而在数学里，我

    主要受内在动机的驱使。

    25、50、75、100、3、6

    旅游业

    看地图走与跟着感觉走

    当你参观一个新的城市时，你是会去寻找你听说过的那些旅游景点，还

    是随便以城市某处作为起始地，跟着感觉走？人们常说，关于假日，他们最

    喜欢的部分就是漫无目的地游荡，然后发现了某条小路尽头的某处鲜为人知

    的美景。比如，在去埃菲尔铁塔或帝国大厦等标志建筑的路上，你很可能会

    邂逅一间非常迷人的小咖啡馆。

    数学也是如此。很多时候，数学都是在试图回答一个特定的疑问或者解

    决一个特定的问题。也就是说，你有一个确定要去的目的地。这就是外在动机。数学史上的很多伟大问题都属于这一类：对于一个需要解答的问题，没

    有人在乎它到底是怎么被解答的，大家只需要知道它被解答了就好。

    ax2

    +bx2

    +c=0

    与上数学课相对，在数学研究中，情况通常是相反的：你会给自己一个

    起点，然后看看自己能走到哪里去。我称此为“内在动机”。它没有解决伟

    大问题那么激动人心，所以人们对它的关注相对较少。就像你在小路尽头发

    现的鲜为人知的美景，就景色本身而言，它远不如埃菲尔铁塔，也很可能并

    不会被旅游攻略提及。但使巴黎成为巴黎的原因是什么呢？是埃菲尔铁塔，还是那些并不为人所知的美景？显然，两者都是必要的，而且更重要的是它

    们组合在一起的方式。

    这方面最有名的数学实例之一就是，几百年来，人们都认为研究质数没

    有什么实际应用方面的价值。然而，数学家依然痴迷于研究它们，因为它们

    本身就很迷人，而且它们是如此的简单、基础。他们在研究质数的时候怎么

    会知道，费马在1640年提出并被欧拉在1736年证明的一个定理日后会成为互

    联网加密技术的基础呢？即便是电脑的发明也是定理证明几百年后的事了。

    而且，没错，此费马正是提出著名的“费马大定理”的费马，这个定理又被

    称作“费马小定理”，以便与“费马大定理”做区分。其实，费马大定理本身就是一个内在动机与外在动机相互作用的有趣实

    例。首先，这个例子表明，在你尝试解决既定问题的过程中，你很有可能会

    有新的发现。在试图证明费马大定理的过程中，安德鲁·怀尔斯发现了许多

    关于椭圆曲线的重要特性，而椭圆曲线听起来和费马大定理似乎没有任何关

    系。你应该还记得，费马大定理说的是就方程an

    +bn

    =cn

    而言，如果n是一个大

    于2的正整数，则不存在非负整数a、b和c使该方程成立。

    但内在动机和外在动机在这个例子里还表现出了另一种相互作用的方

    式，一种我觉得十分美好、令人愉悦的方式。这就好比你将起始点设定在城

    市中心，打算去巴黎圣母院看看，但你决定，与其参照地图直奔巴黎圣母

    院，不如听凭自己的直觉和喜好走上蜿蜒小道，边浏览边前行。然后，瞧，你发现自己走到了巴黎圣母院的门口。在费马大定理这个例子里，数学家也

    曾因为各自的研究目的对椭圆曲线进行了深入探索，而其结果在某种程度上

    反过来推动了费马大定理的最终证明。

    当做数学研究完全出于外在动机的时候，你的感觉就可能类似于下定决

    心前往巴黎圣母院，结果不得不在一条风景糟糕的大马路上走很久。可以

    说，这是一种过于功利主义或者实用主义的数学。当做数学研究完全出于内

    在动机的时候，你的感觉可能类似于在一条美丽的小径上游荡许久却始终没

    有看到任何值得一提的风景。这是一种过于理想主义或者过于唯美的数学。

    而当两者合一的时候，你就会找到一条既有趣，又指向有意义的终点的道路

    ——这是两种动机的有效结合，也是数学最美妙的部分。

    数学的不同领域有不同的研究重点。数论领域里有很多知名的未解之

    谜，为解决这些谜题，数学家们一直在努力运用他们能想到的各种办法。范

    畴论则稍有不同。这个数学分支的目的之一就是找到每项数学研究、每个数

    学概念的内在动机，或是找到一种看待事物的新观点，启发已经存在但未被

    发现的内在研究动机。在本书的第二部分，我们会看到范畴论是如何用不同

    的方式达到这个目的的。举个例子，我们可以列出30的所有因数，也即所有

    能整除30的非负整数。它们是：

    1、2、3、5、6、10、15、30

    然而，把它们都列出来好像并不能给我们什么启发。因为其实这些因数

    中的一些也是彼此的因数。如果用线把彼此有因数关系的数字都连起来，我们就会得到这样一幅图：

    这张图看起来有些混乱。对此，我们可以通过只连接中间没有其他因数

    的数字的方式来简化这幅图。即，我们可以把6和30连起来，但不能把2和30

    连起来，因为6在它们中间。如此，我们就得到了下面这幅看起来简洁许多的

    图：

    我们稍后会进一步探讨这类图示，我们会发现，这就是范畴论让事物变

    得更有条理，以几何图示的方式表示抽象概念的方式。

    丛林

    创造和发现

    有时我会想，从前与现在的科学探索会有多大的不同，因为从前还有许

    多未被探索过的区域以及有待发现的大型动物——至少对于欧洲人是这样。

    我猜现在仍然有未被发现的昆虫、细菌和植物，但想想第一批看到鸭嘴兽的

    欧洲人吧，他们感受到的震撼实在难以想象。没有人相信他们——当他们在1798年将鸭嘴兽的标本和画像带回大不列颠的时候，人们怀疑这完全是一个

    骗局，是某个高超的标本剥制师将鸭嘴缝到了某种其他的哺乳动物身上。

    人们也曾经怀疑过某些数学结论是一场骗局。人们总对我说，“数学总

    是非此即彼。2+2就等于4”。但我现在想告诉你，并非如此，有时候2+2=1也

    能成立。

    你是不是觉得我在开玩笑？不，并不是。在某个数字世界中，事实就是

    如此。就像一个一圈只有3个小时而不是12个小时的钟。我们已经习惯于这样

    的事实：如果现在是11点，那么2小时后就是1点。换句话说：

    11+2=1

    而如果我们用一个一圈只有3个小时的钟(如下图所示)计时的话，那么2点钟的2小时后就是1点钟。换句话说：

    2+2=1

    这个例子可能多少显得有些不自然，就好像是我故意为了证明2+2不等于

    4而编出来的。换句话说，是外在动机驱使我举了这个例子。但稍后我们会看

    到，这个“只有3个小时的钟”的数字体系的最初建立其实是由内在动机驱使

    的，是一件自然而然的事，它是一个很重要的数学概念。

    y x

    y xy x

    x

    f x x f x拼图

    直接拼拼图与先看完成图你在玩拼图的时候，是先看盒子上的完成图，然后再对照着将拼图碎片

    放在合适的位置上，还是不看完成图，直接通过观察拼图碎片之间的关系把

    它们组合起来？

    根据完全图来拼拼图就像数学里由外在动机驱动的研究。你有一个清晰

    的目标，你知道目标具体是什么，你努力达到这个目标。而不看完成图直接

    拼拼图则像数学里由内在动机驱动的研究。你试着根据拼图碎片自身的结构

    及其与其他碎片的关系来组合它们，而不是根据它们与一个外在的完成图的

    关系来摆放它们。

    我发现，小孩子们在玩拼图时总是会下意识地选择听从内在动机而非外

    在动机。他们似乎更倾向于把有些许类似的拼图碎片拼到一起，而不是比较

    碎片和盒子上的完成图。事实上，我觉得说服小孩子们根据完成图拼拼图是

    很难的。我猜原因可能在于，在儿童成长的不同阶段，内在动机和外在动机

    在他们身上的作用力不同。此外，他们还对字面意义上的“内在”而非“外

    在”更感兴趣：他们一般都会从拼图的中间开始拼起，因为那是最有趣的部

    分。大部分的成年人从他们成长过程中的某个时点开始，就明白了有效、合

    理的拼拼图方法是从四个角开始拼(如果完成图是长方形的话)，然后把所

    有的边都拼好。而孩子，至少我认识的那些孩子都不愿意这样做。

    中学时，在我上物理高级水平课程的时候，老师通常会在测试前发给我

    们一张写满各种公式的纸，这让考试看起来更像一个拼图任务，而不是一次

    对于物理知识的测验。这张纸包含所有我们会用到但不需要记住的物理公

    式，比如：

    F EQ

    E V d

    E

    现在，我要向大家承认，其实我从来没有关心过这张纸上的公式到底是

    什么意思。事实上，我当时挺为自己找到能够在物理高级水平课程的测验上得高分而并不需要理解那些物理知识本身的方法而骄傲的。我所做的只是阅

    读问题，写下所有与题目中的量有关的字母符号，然后扫一眼公式纸，找出

    包含上述这些字母符号的公式。这就像一个追求效率的成年人以“外部驱

    动”的方式而非“内部驱动”的方式拼拼图一样。当时的我认为我找到了最

    有效的、以最小工作量拿到物理高级水平课程好成绩的方法。

    我们会在后文看到，范畴论常常是连接内部过程和外部过程的桥梁。它

    将内部过程变得更加几何化，因此有时候解决这类问题就像是在拼拼图一

    样。

    下面是一个范畴论里的拼图问题。你甚至可以在不明白这些碎片本身的

    意思的情况下将它们拼成完整的图片。比如，我们有这样两个碎片：

    我们想把它们拼成下面这样的图：

    我们可以直接把前面两个碎片的边沿着边组合在一起，就像这样：这是范畴论里一个很典型的运算。完成图会越来越大，我们也会用到越

    来越多的碎片。但是，因为这些碎片是抽象的，所以我们就有无限个碎片可

    以用，而且每个都可以用无限多次。

    马拉松

    锻炼身体和为比赛而训练

    如果你为了保持身体健康而进行体育锻炼，那么你会选择一个特别的项

    目进行专门的训练吗？有些人会这么做，他们会选择投身于某个特别的项

    目，比如马拉松、三项全能或户外探险，这些项目会让他们充满动力。而另

    外一些人则可能为了保持身体健康、休闲娱乐或释放压力而运动。当然，很

    有可能这几种原因都有——如果你不享受运动的话，那么将完成一次马拉松

    作为目标并不会对你的训练有帮助。

    当我准备参加纽约市马拉松比赛的时候，我的锻炼计划发生了很大的变

    化。我读了很多篇文章，这些文章都说跑半程马拉松并不需要特别的训练，但跑全程马拉松就必须进行专门训练了。事实上，我确实是在没经过特殊训

    练的情况下就去跑了伦敦半程马拉松，我所做的准备只是每隔一天去健身房

    进行日常的身体锻炼而已。此外，我还有一个很爱运动的朋友，他没经过专

    门训练就去跑了纽约马拉松，结果膝盖受伤了。

    所以我增加了锻炼的时间，训练耐力，根据我在网上找到的一个方法每

    两周跑一次长跑，并在最后的几周减少长跑量，将距离最长的一次长跑训练

    放在马拉松比赛之前的一个月左右。这个计划实现得不错，而且我最终在自

    己预计的时间内跑完了全程。(当然，我的预计时间设定得很宽松，但我对

    自己的期待很切实际。)我想说的是，大概有6个月的时间，我的锻炼计划几乎完全听从于外在动

    机——我有一个确定的目标，我所做的每件事都是为了实现那个目标。然

    而，在那6个月的之前和之后，我的锻炼计划都是由内在动机驱动的，我并没

    有一个特定的目标(“保持整体健康和减肥”不能算是一个特定的目标)。

    重要的是锻炼本身，以及享受这个锻炼的过程。

    人们常常宣传学数学的外在动机——很好找工作，可以解决实际生活中

    的问题。但就像马拉松一样，如果你不是本身就喜欢数学的话，那么硬要跟

    你说数学能如何解决实际问题也没用。举个最近发生在我朋友身上的例子

    ——她想辅导她儿子的功课，但她觉得自己更需要辅导。

    这个问题让人遗憾的地方在于，它想要给人设置一个解答问题的外在动

    机，但整个问题场景实在做作。你为什么需要知道乔治上周在市区里开了多

    少英里呢？除非你是他的妻子，想知道他有没有外遇。如果不是这样的话，记住你在高速路上开了多少英里，然后用764减去这个数字不是更简单吗？

    就这个问题而言，其在数学上的内在动机对我来说要有趣得多。这个问

    题包含两个未知量：在市区里汽车行驶的英里数，在高速路上汽车行驶的英

    里数。它也包含两条与之相关的信息：总的英里数和总的耗油量。这是一个

    碎片数量合适的拼图问题。

    解决这个问题的第一步是抽象化——把由文字描述的问题转变为由字

    母、数字、方程等组成的数学表达。如果我们用M代表汽车在高速路上行驶的

    英里数，用T代表汽车在市区行驶的英里数，我们就可以把这两条已知信息写

    成方程了。

    M+T=764M

    T

    现在，我们有两个未知数以及两个包含未知数的方程。凭第一感觉，你

    可能会意识到，如果我们有200个未知数，而只有一个方程，我们可能就没有

    足够的信息算出这些未知数的值都是多少了。但总的来讲，如果方程的数量

    和未知数的数量一样，我们就很有希望将方程解出来。

    我个人认为，解方程是整个解题过程最无趣的部分，但这是因为我特别

    喜欢抽象的过程，喜欢它胜过计算。不知道你是否注意到了，这个问题在本

    书的前面也出现过。当我们把关于乔治的问题变成两个一次方程时，它就变

    成了我们在第二章看到过的一组方程，而那组方程是关于儿子和爸爸的年龄

    的。现在，我们已经把乔治的问题抽象成了一个我们已经解决过的问题，所

    以我们不需要再进行计算了。

    不过，我还是会将计算过程写出来。

    31M+54T=15×54×31

    =25110

    T

    M=764–T

    31(764 - T)+ 54T=2511023684–31T+54T=25110 …… 乘法分配律

    23684+23T=25110 …… 合并含有T的项

    23T=25110 - 23684

    =1426

    T=142623

    =62

    所以答案是乔治在市区里开了62英里。好极了。也许他真的有外遇？

    数学创新

    这一整章里，我一直在讨论两种数学创新的方法。一种是由内在动机驱

    动的，即跟着直觉和想象力走，发明一些你感觉有趣或合理的东西。另一种

    是由外在动机驱动的，即为解决一个特定的问题而寻找、开发解决办法。

    我们现在要比较一下这两种方法在发现“虚数”这个概念上起到的不同

    作用。

    内在驱动的方法

    你也许还记得“负数不能取平方根”这个重要原则。其原因在于，正数

    乘以正数还是正数，负数乘以负数也是正数。所以一个数乘以它自己总是正

    数(或者0)。也就是说，任何一个数的平方都不可能为负。而取平方根是平

    方的逆运算。所以，要找到一个负数的平方根，我们就需要找到一个平方为

    负的数——而我们刚刚才说，这样的数不存在。

    这时候，内在动机会让我们对这件事感到不满意、沮丧、恼火，甚至为

    不能对负数取平方根而生气。想象一下，你看到一个标志，它告诉你你不能

    做一件你觉得完全无害的事——你是不是会马上就想去做那件事？我们现在

    遇到的就是这种情况，有一个标志告诉你，你不能对负数取平方根，但这件事究竟有什么害处呢？在数学里，“害处”指的是“造成逻辑矛盾”。如果

    一件事没有造成逻辑矛盾，你就可以做这件事。

    因此，对一个负数取平方根唯一可能的“害处”就是你试图声称一个数

    的平方可以为正数也可以为负数，因为我们知道这是不可能的。

    那么，我们怎样才能让一个负数，比如-1，成为一个数的平方呢？也

    许，数学中的确存在这样一个完全不同的数字体系，其中的数字乘以它本身

    会得到一个负数。你也许会马上反驳说，但这是不存在的——就像鸭嘴兽一

    样？

    关键就在于，在数学里，一旦你想象出一个东西，只要它本身不存在逻

    辑矛盾，那么它就存在了。给-1取平方根并不会造成矛盾，只要它的平方根

    是一个新的数字，而不是我们已经知道的任何正数或者负数即可。它就像一

    种全新的乐高积木。为了保证我们不把这类数字和我们已知的数字搞混，我

    们给它起了一个全新的名字：i。i指代“虚构的”(imaginary)一词，因为

    它是一种新的数字类型，而且不是“真正存在”的数字。我们在后文会进一

    步讨论这个问题。

    外在驱动的方法

    一种更加“外在的”发明虚数的方法是试着解二次方程。二次方程就是

    一个有x和x2

    的方程，比如：

    x2

    +x -2=0

    或者

    2x2

    –7x+3=0

    你也许还记得怎么解这种方程，也就是找出所有使等式成立的x的值。如

    果你已经不记得了的话，我可以告诉你，x=1或者 x=-2都可以使第一个方程

    成立，x=3或者 x =12都可以使第二个方程成立。任何其他的数字都不能使

    这两个方程成立。

    那么下面这个方程呢？x2

    +x+1=0

    不管你尝试什么数字，正数、负数还是0，你都会失败——方程的左边永

    远不可能等于0。这时，你当然可以耸耸肩说，反正你也不想知道怎么解二次

    方程。但数学家不喜欢解不出来的问题。而发明“虚数”就是一种给此类之

    前无解的方程找到解的方法。此时，受内在动机驱动的结果和受外在动机驱

    动的结果就十分接近了。

    你是否会认为，为了解决一个问题而发明一个新的概念然后宣称这就是

    答案相当于作弊？对我来说，这反而正是数学最激动人心的一个方面。只要

    你发明的新概念不会造成矛盾，你就有权发明它。关键在于平衡这个过程中

    的内在动机和外在动机。如果你发明一个概念纯粹是为了解决某个特定的问

    题，那么长远来看，它就不大可能是一个好的数学概念，即使它的存在本身

    可能并没有错。最好的数学发明是那些既合理又能解决很多业已存在的问题

    的发明。

    1. 1加仑(英)≈ 4.5461升。——编者注

    2. 此处可能存在两种例外情况：两个方程相互矛盾，或者两个方程本质上是一样的。在此我们

    就不探讨这两种例外情况了。7

    公理化

    佳发蛋糕

    配料

    方法

    1.

    2.

    3.

    人们可能会认为这个食谱实在没什么用——我要去哪里找“扁圆形的原

    味小蛋糕”？如果我想从零开始做佳发蛋糕呢？那样的话，你需要准备的配

    料就应该是：鸡蛋、白砂糖、面粉、黄油(这些材料用于做蛋糕)，橘子和

    糖(这些材料用于做橘子酱)，可可酱、可可粉和糖(这些材料用于做巧克

    力)——或许，巧克力也可以直接算作一种基础配料？

    什么算是基础配料，而什么又必须由其他更基础的配料组合而成，这是

    一个比较微妙的问题。分类的标准取决于你想达成的目的。也许对你来说，佳发蛋糕本身就是一种基础配料，你会直接从超市买一包回来。而对我来

    说，自己做东西会让我很有满足感，我喜欢从零开始，用鸡蛋、白砂糖、面

    粉、黄油、橘子和巧克力做佳发蛋糕。

    数学研究的目的之一就是“从零开始”。重复问“为什么？为什么？为

    什么？”的一个结果就是你会得到越来越基础的概念。你总会面临什么算是基础配料，而什么需要进一步分解这个问题。我在前面曾经提到，数学的基

    础配料叫作公理，而将某个概念不断分解为基础配料的过程叫作公理化。

    归根结底，数学就是关于真实事物的科学。我们一直在问它们为什么是

    真的，然后通过把复杂的事实分解为更简单的事实来回答这个问题。所以本

    质上，公理就是我们在某种特定情境下所认可的基本事实。这种界定并不意

    味着它们是绝对真理或者永远都是真的，或者不能再被分解了。它仅仅意味

    着，在我们目前探讨的数学情境下，它们就是基础配料，而我们想看看用它

    们究竟能做出什么东西来。

    姜汁蛋糕

    你的厨房里有现成的配料吗？

    通常，当我想尝试新食谱的时候，我就不得不出门买一些我不会长期储

    备的食材。渐渐地，这越来越不成问题，因为我的厨房里囤积了越来越多的

    东西，尤其是烘焙材料。我第一次用到黑砂糖是在我准备做姜汁蛋糕的时

    候，我不得不特意出门购买这种糖，因为我的厨房里没有。当然，做姜汁蛋

    糕并不会用掉一整包黑砂糖，因此对于剩下的那些，我就需要找到各种其他

    的方式把它用掉。不同的人会在厨房常备不同的基础配料，对我而言，黑砂

    糖现在就像巧克力、黄油和大约8种面粉一样，成了我厨房里的常备配料之

    一。我只有在尝试特定的食谱时才会去买牛奶和鸡蛋，但我会常备杏仁粉；

    你可能会把牛奶和鸡蛋作为你的厨房常备配料，而从未遇到要用杏仁粉的时

    候。

    就像我在之前关于内在动机和外在动机的讨论时提到的，也许你会为某

    一个特定食谱而专门购买配料，也许你会直接用厨房里的现成配料发挥，看

    看自己能做出些什么(近来，人们将后者称作“烘焙实验”)。可能是我的

    思维方式太过数学了，但不管怎样，有些时候我真的希望食谱书可以以“如

    果你买了这些配料，你能用它们做些什么”为线索给书中的章节分类。或者

    也可以说得不那么直接，比如，使用这些配料和你刚学会的新的烹饪方法，你还可以做出什么菜？i

    i2

    =-1.

    i

    2i×2i=4i2

    =4×(-1)

    =-4

    a a ai

    i乐高积木

    用同样的积木来造不同的东西

    当你坐在一堆乐高积木面前时，你实际就拥有了两样东西：

    乐高的高明之处(或者说高明之处之一)就在于它的要素十分简单，而

    与此同时又拥有太多要素相互组合的可能性。更进一步地分析这种巧妙的设

    计，我认为很重要的一点是，乐高积木的组合方式是清晰且有限的。

    数学在某种意义上和乐高一样。你会从一些基本的积木和组合方式入

    手，然后看看你能制造出什么东西。你有两种操作方法：

    比如，如果你想用乐高积木拼一辆车，那么你可能需要一些轮子。除非

    你想做的是一辆非常大的车，那样的话你就得用最基本的积木来拼装车轮

    了。

    这与内在动机和外在动机有关。在某种程度上，公理化就是由外在动机

    驱动的、处理整个数学体系乃至数学世界的一套方法。它是一种逻辑性的方

    式，用于梳理你希望创建的数学体系的基本结构。

    我们先用数字来尝试一下。要找出所有的自然数，即1、2、3、4、5，等

    等，你只要将1作为一块砖，并将“加法”作为把所有的砖组合起来的方式即

    可。也许你需要很长时间才能数到100万，但在数学里，我们首先考虑的是总

    体上你能否做某事，而它需要多长时间来完成则是另外一个问题了。而且，就算是在现实生活中，也总有一些商业巨头的营业利润是通过售卖一个个小

    的商品累积而来的。我觉得这就是为什么学步期幼儿通常会因为学会爬楼梯而激动不已，因为他们意识到只需要重复向上爬一步这个步骤，他就可以越

    爬越高，甚至爬到天上去(除非一些煞风景的大人把他们从楼梯上抱下

    来)。

    先执行操作方法1，再执行操作方法2是一个不错的尝试。也就是说，你

    首先决定要拼装一辆车，然后你找出所有你需要的基础构件——轮子、门

    等。之后你可以看看用这些基础构件还能拼装出什么东西，或许是一辆皮卡

    车，又或许是一艘火箭飞船。

    也许你还可以想想组合这些积木的另类方法。当小孩子们刚开始玩乐高

    的时候，你会看到他们只会简单地把乐高积木一个接一个堆叠成一座塔，而

    再过一些时候，他们可能就会想到把这些塔并排拼在一起可以组成一堵墙。

    再之后他们可能会想到，也许还可以搭建有拐角的墙，然后把它们组合成一

    座房子。对数字的探索也一样，当你厌倦了只是做加法的时候，你就会转而

    尝试做减法、乘法、除法，然后你就会像真正的数学家那样“发明”出分

    数。

    数学中的公理就像乐高积木的基础构件和你设定的组合方式。数学家让

    他们所建构的数学世界严格按照逻辑运行的方式之一就是“公理化”。也就

    是说，他们会决定可以用哪些积木，以及可以使用哪些组合方式。这并不意

    味着你就永远不能用其他的积木和其他的组合方式了，而只是说，就现在而

    言，你只被允许使用这些基本素材，请在此前提下探索你能用它们搭建出什

    么来。

    重点在于，这些积木被视为基本要素。当你拿到了一盒这样的积木时，你不会尝试拆分它们，虽然肯定有小孩子看到乐高的第一反应是想把它们敲

    碎。

    a b c a b c a b c

    a b a b1+2=3

    2+1=3

    3+3=3

    医生护士足球赛

    设定严谨的规则以确保无漏洞可钻

    一个当医生的朋友有一次告诉我，他在剑桥的阿登布鲁克医院参加过一

    次面向医生、护士群体组织的足球赛。显然，球队队员有男有女，按照规

    定，有女队员的球队在开场时会多加分，有几个女队员就多加几分。结果有

    一支球队意识到他们的女队员人数比所有其他球队都多，于是在整场比赛

    中，他们只需要让全部队员都守在球门口就能赢了。

    你是否认为，一个有操守的人应该遵循比赛规则的内涵，而非仅遵循规

    则的字面意思？还是你认为，规则就应该设定得足够滴水不漏，让人没办法

    钻空子？

    在数学里，我们的研究对象只遵从逻辑规则。所以我们不可能要求它们

    理解规则的内涵，而不要只看规则的字面意思。数学规则的“字面”意思就

    是你严格遵循逻辑操作所得到的结果，所以这也是我们的数学对象唯一

    会“做”的事。因此，当我们建立这些规则的时候，我们必须仔细确保没有

    漏洞存在。公平与否

    严谨的规则可能导致奇怪的结果

    世界上不存在公平的投票制度。

    基于你自己参加投票的经历，你也许凭直觉认同这个判断，或者你也可

    能对此深信不疑。但无论如何，这仍然与数学定理有关。

    重点是，要明白这个陈述背后的逻辑，我们首先需要精确地定义什么是

    公平。也就是说，我们需要精确地设定我们的公理。这个关于公平的命题也

    被称为阿罗悖论。它不只涉及政治选举，也与由一组评委决定选手排名这类

    事物有关。x Y

    x Y

    x Y Z

    你也许曾和他人有过关于数学类型的争论，而最终的论点往往会被归结

    为定义之争。比如，你可能希望和他人讨论人是否有灵魂，而问题的结论完

    全取决于你对“灵魂”的定义。

    数学研究的主要目的之一就是用逻辑研究所有的事物，而数学家不愿意

    让他们关于数学类型的争论最终归结于定义之争，因此，他们会在争论的最

    开始就对他们所使用的定义进行严谨的描述，就像设定基本原则一样。当有

    人因起跑犯规而被取消资格时，作为观众的你可能会为他们打抱不平，但那

    正说明了比赛规则的精确性。你也许不同意这些规则，但你并不能(在理性

    上)拒斥规则被实施这个事实。

    这就是数学这门科学以精准著称的原因之一，也是很多人在学数学时总

    会产生挫败感的原因之一。数学的原则是不可变通的。你可以认为某些原则

    很愚蠢，但你并不能对此做什么。就像我总是觉得壁球球拍的拍面太小，让

    我很难打到球，但这就是壁球这个项目的一部分，是公理的一部分。你也许

    认为-1的平方根只能是一个虚数这件事很愚蠢，但你认为它很愚蠢并不能影

    响什么。我们现在要玩一个游戏，这个游戏的主要内容就是把虚数当成积木

    来搭建东西，你是否相信它的存在并不重要——它就是游戏规则的一部分。

    跳高用严谨的规则来去除人为偏见

    跳高运动是一个很容易让我产生满足感的体育项目——前提是不需要我

    本人参加(我曾在关于抽象的那一章提到过关于参加跳高测试的惨痛经

    历)，而是观看跳高比赛。因为跳高的规则和目标都非常清晰。你必须越过

    一根横杆，基本就是这样。我知道我漏掉了一些技巧方面的细节问题，但从

    观众的角度来看，运动员“越过一根横杆”就是比赛的全部内容了。跳高不

    像一些其他的运动项目，比如花样游泳或摔跤，在那些项目中，不管裁判多

    么努力地做到客观评判，最后的判定总是人为的。

    数学关乎剔除事物中主观人为的部分，让事情只遵循逻辑运行。这既能

    让人感到满意，因为每件事都因此变得非常清晰、毫不含糊，也能让人丧失

    成就感，因为本质上我们是把自己从我们研究的事物中剔除了。不过，我们

    的目的并不是把所有的人类活动都变成纯逻辑的过程，就像我们并非试图宣

    称跳高就是人生的全部(虽然正在参加跳高比赛的选手可能真的会这么

    想)。我们的目的是清晰、准确地认识事物的某些方面。跳高的目的是看看

    人类在助跑的帮助下能跳过多高的横杆。这是一种非常有观赏性的体育赛事

    (背越式跳高的动作是如此优雅，和它平庸的名字完全不符)，它吸引我的

    另一个原因是它突出了人类的某个十分纯粹的特征。百米短跑吸引我的原因

    也是如此，而不是尤塞恩·博尔特比我们其他人更容易赶上公交车。

    你几乎可以想象得出在最开始的时候，跳高的规则是如何被“公理

    化”的，换句话说，这些规则是如何制定出来的。让我们再次尝试回溯历

    史。也许一些人曾互相比赛谁能跳过更高的篱笆，而其中一些人意识到了，如果他们可以在跳高之前先跑一段路，他们就可以跳得更高。之后，大家也

    许会开始讨论究竟可以允许选手在跳高之前跑多远，再之后，大家可能会开

    始讨论是否可以在篱笆的另一边放一个垫子作为着地缓冲，等等。

    数学的一部分公理化也是以类似的方式实现的。

    a b a b

    b a ba b

    a d c b a b c d

    切蛋糕

    贯彻严谨的原则来避免含糊不清

    如果你有弟弟或者妹妹，我相信你小的时候肯定遇到过这个问题：怎样

    才能把最后一块蛋糕平均地分给你们两个人呢？你也许想出了“我切，你

    选!”这个绝妙的办法。这样的话，如果你是切蛋糕的人，你就必须切得很

    均匀，因为如果一块儿比另一块儿大，那么很明显你的弟弟或者妹妹会拿走

    大的那块儿，而你只能怪你自己。

    很好。这个问题解决了。但是……如果你有一个弟弟和一个妹妹呢？你

    需要把最后一块蛋糕分成3份。如果要分成4份呢？11份呢？

    分一个圆蛋糕不是很难(无论如何，你至少能借助量角器来分)，但如

    果你要分的是一角蛋糕呢？或者一个恐龙形状的蛋糕呢？你要怎样才能做到

    平分？

    这个问题的关键和投票系统是否公平这个问题是一样的：什么是“平

    均”？为了解决这个问题，我们必须非常明确问题的含义具体是什么，这就

    需要我们将切蛋糕这个情境公理化。实际上，这个问题已经有人研究过了，它已经成为一个经典的数学问题。假设我们要将蛋糕平均分给三个人。下面是两个此情境下的“平均”定

    义：

    第一个定义可以被视为“绝对公平”，因为每个人只依据自己分得的蛋

    糕本身来评判。第二个定义可以被视为“相对公平”，因为每个人都在对比

    自己和别人分得的蛋糕分量的大小。第二种也被称为“无嫉妒的公平”，因

    为对于这种公平来说，很重要的一点是没有人嫉妒别人分得的蛋糕比自己更

    多。

    如果你只是在两个人之间分蛋糕的话，那么这两种公平就是一样的。但

    如果是在三个或者更多人之间分蛋糕的话，情况就变得复杂多了。你也许认

    为自己的确分到了三分之一的蛋糕，但如果你觉得你弟弟比你分到的更多，你就会觉得不公平，即使这真的不该是你关心的问题。

    通过精确设定关于平均的定义和规则，这个问题就被转变为一个数学问

    题。我们必须把各种复杂的可能性都考虑进来，比如，不仅蛋糕的形状可能

    不是圆的，而且它可能有糖霜、杏仁膏、樱桃等不同的装饰物，不同的人对

    于这些装饰物的喜好程度也不一样。小的时候，我和我最好的朋友总是可以

    非常完美、愉快地分享圣诞节蛋糕，因为她不喜欢蛋糕，而我不喜欢糖霜和

    杏仁膏。

    其实，一旦我们把分蛋糕的问题进行了精确的公理化，我们就会发现这

    些原则适用于平分任何事物，包括不能切割的事物。现在，这类问题可以被

    数学化地解决，而且它的解决方案相当复杂。有意思的是，当引入嫉妒这个

    概念时，问题就会变得更加复杂——这是关于嫉妒让世界复杂化的一个数学

    证明。

    n0.3、0.25、0.25、0.1、0.1

    n

    x

    y x y

    为什么？为什么？为什么？(再一次)

    严谨的逻辑规则从哪里来

    当小孩子反复地问“为什么”的时候，你也许会厌烦地想，还有完没

    完？答案是，没有完。小孩子对于那些他们不理解的事情好像要比我们更容

    易感到困扰。作为成年人，我们习惯了接受权威灌输给我们的事实，即便我

    们没有得到解释。现在，大多数人都接受了地球围绕太阳转这个事实，但实

    际上，大部分人都没有直接的证据证明这个事实，除了其他人告诉我们这是

    真的，而我们都选择了相信。为什么我们会选择相信呢？因为我们相信一定

    有人验证过这个事实了。但我们为什么要相信那些人的判断呢？我们希望孩子们学会以“理性”处事，但我们有时也希望他们能相信他

    们并不理解的事情就是事实。这种矛盾让孩子们困惑不解，对此我并不感到

    奇怪。成年人一直在确实符合逻辑的事实和盲目“相信”之间随机摇摆。

    将一个体系公理化的目的之一就是把这两点清楚地区分开来。一方面，我们有基础的出发点，就是那些属于公理的、无须证明的事实。另一方面，我们有经由逻辑演绎得到的其他事实，这些事实的合理性和正当性可以由那

    些公理证实。

    但关键在于，如果我们不以一些假设作为起始点，我们就无法向下推断

    演绎出其他的一切。你有没有试过在没有乐高积木的前提下用乐高积木搭建

    东西？这显然是做不到的。同样，用纯粹的逻辑来处理问题的确很好，但它

    只能让你从一些事推断出另一些事。如果你在最开始什么都没有，那么你就

    什么也得不到。所以，数学并不是关于“绝对真理”的科学，就像路易斯·

    卡罗在以下这个悖论中提到的，这段话最早发表在《阿喀琉斯听乌龟说》一

    文中，刊登于1895年的一期《心灵》期刊上。 ......